Zunehmend wird mir vorgeworfen, ich würde mich ewig ermüdend wiederholen. Das fällt aber nur den Betreibern dieses Forums auf, die eh schon alles wissen.
So als wollten sich die Kollegen über einen Lehrer mokieren
" Jetzt fängt der schon wieder bei Adam & Eva an ... "
Hier ich seh ' sdoch. Ich kann das so oft erklären wie ich will. Mein Divisionstrick Marke Eigenbau setzt sich einfach nicht durch.
Ich gehe aus von der Grundwahrheit
" Allgemeine Lösung des LGS gleich Sonderlösung + Kern des homogenen LGS " ( 1 )
Machen wir nicht gleich alles auf einmal; bestimmen wir erst mal den Kern. Rechts setze ich also Null.
2 x + 3 y + z = 0 | : z ( 2a )
3 x - y + ß z = 0 | : z ( 2b )
x + 7 y - 6 z = 0 | : z ( 2c )
Dieser Divisionsalgoritmus funktioniert immer, so lange sich das Vorkommen der Parameter auf eine Spalte - hier die dritte - der Koeffizientenmatrix ( KM ) beschränkt. Ja es könnte sich sogar um 4 711 Parameter handeln, die in jeder Zeile der KM zu einer anderen Funktion verwurstelt sind - ich hatte eindeutig schon kompliziertere Probleme. Und zwar schlagen wir gleich vier Fliegen mit einer Klappe
1) Den Parameter schmeißen wir aus der KM heraus.
2) Damit ist es nicht mehr erforderlich, die Determinante der KM Null zu setzen.
3) Zwei Unbekannte gelten im gegentum zu dreien als beherrschbar.
4) Trotz der Division bleibt das LGS linear, weil ja rechts Null steht.
Wir setzen noch
X := x / z ; Y := y / z ( 3 )
Mit den neuen Unbekannten ( 3 ) lauten ( 2a-c ) nunmehr
2 X + 3 Y = ( - 1 ) ( 4a )
3 X - Y = - ß ( 4b )
X + 7 Y = 6 | * 2 ( 4c )
Anmerkung; die Nummerierung der Gleichungen ( a-c ) behalte ich konsequent bei. Subtraktionsverfahren ( 4c ) - ( 4a ) ; den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt.
11 Y = 13 ===> Y = 13/11 ( 5a )
( 4ac ) ===> X = ( - 25/11 ) ( 5b )
notieren wir den Kernvektor wie üblich primitiv
Kern ( LGS ) = ( - 25 | 13 | 11 ) ( 5c )
( 5ab ) einsetzen in ( 4b ) ===> ß = 8
Das heißt also jetzt für ß ungleich 8 ist das LGS eindeutig lösbar ( invertierbar )
Streng genommen ist ja Division durch z nur zulässig, wenn es keinen nicht trivialen Kernvektor gibt mit z = 0 . Doch da können wir Entwarnung geben; wenn z = 0 , ist die Determinante von ( 2ac ) bereits ungleich Null
z = 0 ===> x = y = 0 ( 6 )
Erinnern wir uns: alles, was wir von deinem ( inhomogenen ) LGS noch benötigen, ist eine Sonderlösung. Abermals greift der z-Trick. Wenn es überhaupt eine Lösung gibt für ß = 8 , so notwendiger Weise auch eine mit z = 0 . Zum zweiten Mal wurden drei Unbekannte auf zwei reduziert. Das sieht man jetzt folgender Maßen ein; sei ( x | y | z ) eine Lösung. Dann aber auch
( x0 | y0 | z0 ) := ( x | y | z ) - ( z/11 ) * Kern = ( 7a )
= ( x + 25/11 z | y - 13/11 z | 0 ) ( 7b ) ; wzbw
Dein Ausgangssystem notiere ich ohne z
2 x + 3 y = 5 ( 8a )
3 x - y = 2 | * 3 ( 8b )
x + 7 y = µ ( 8c )
Diesmal wählen wir das Additionsverfahren ( 8a ) + ( 8b )
11 x = 11 ===> x = 1 ; y = 1 ( 9 )
( 9 ) eingesetzt in ( 8c ) ergibt die Aussage, dass es nur eine Lösung geben kann für µ = 8 - und zwar gleich unendlichj vielata wegen dem Kernstrahl.
