Kurven einer 1-parametrigen Geradenschar

Question

Gegeben sei eine 1-parametrige Geradenschar im ℝ²:

{(x,y) ∈ ℝ² | y=2c(x-c)+c²}, c ∈ ℝ

Wieviele Kurven der Schar gehen durch einen gegebenen Punkt (x₀,y₀)?

Answer 1

Nimm mal an x und y sind feste Koordinaten und du willst wissen für welches c die Funktion durch den Punkt x, y geht. Dann müsstest du die Gleichung nach c auflösen.

y = 2c(x - c) + c^2
y = 2cx - 2c^2 + c^2
y = 2cx - c^2
c^2 - 2xc + y = 0

wir lösen das mit pq formel

c = x ± √(x^2 - y)

für x^2 - y < 0 geht keine Kurve durch den Punkt

für x^2 - y = 0 geht genau eine Kurve durch den Punkt

für x^2 - y > 0 gehen genau zwei Kurven durch den Punkt