Komplexe Lösungen von z^4 = -36 ermitteln

Question

Wir müssen zur folgenden Aufgabe eine komplexe Lösung aufstellen:

z^4 = -36

zuerst muss ich diese in die exponentialform darstellen:

also: -36 * e^iπ

nun gibt es 4 Lösungen: w0, w1, w2, w3

als nächstes sollte ich die n-te Wurzel ziehen

4√-36... das ist aber nicht möglich oder?

muss ich mit den -36 vorher etwas anstellen?

Answer 1

Wolframalpha berechnet die Lösungen und plottet sie dir auch

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%3D-36

Achtung:

-36 = 36·e^{i·pi}

Answer 2

allgemein gilt:

z_k=|z₁| ^{1/n} e^{ i ((φ +2kπ))/n}) , k=0,1,2,3)

|z₁| = 36

tan φ= Imaginärteil/Realteil= 0/-36 =0

φ =π (2. Quadrant)

n=4

eingesetzt in die Formel:

z₀= 36^{1/4} *e^{(i π)/4}

z₀= √6 (cos(π/4) +i sin(π/4))

z₀≈ 1.7321 + 1.7321 i

z₁≈ -1.7321 - 1.7321 i

z₂≈ 1.7321 - 1.7321 i

z₃≈ -1.7321 + 1.7321 i