Quadratmatrizen beweisen

Question

Aufgabe 50.[6 + 3 Punkte] Für zwei Quadratmatrizen A,B ∈ Matn×n(R) heißt [A,B] := A · B − B · A Kommutator von A und B. Man sagt, dass A und B kommutieren wenn gilt: [A,B] = 0. (1) Beweisen Sie, dass wenn Quadratmatrizen A und B kommutieren, dann gilt für alle n ∈ N: (A+B)^n=∑((k=0))(n über k)A^kB^n-k Geben Sie ein Beispiel zweier Quadratmatrizen, für welche diese Formel nicht gilt.

2.) Bestimmen sie alle Matrizen die mit der Matrix A= ( 1 2
                                                                                                   -1 1 )  kommutieren.

für die erste aufgabe habe ich zwei gegenbeispiele gefunden, aber ich weiß nicht wie ich die formel allgemein beweisen kann.
und zum 2. fällt mir nur die identische matrix ein.

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Comments

2.

[1, 2; -1, 1]·[a, b; c, d] - [a, b; c, d]·[1, 2; -1, 1] = [0, 0; 0, 0] --> a = d ∧ b = - 2·c

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Für die 1) Stichwort binomischer Lehrsatz. Da gibt es genügend Beweise im Internet zu. Kannst du mit vollständiger Induktion zeigen.

Answer 1

 Aufg 2)  Der Witz; die Einheitsmatrix vertauscht mit jeder Matrix .

     a    b                0       2               -  b         2  a

     c    d     *       - 1        0        =     - d          2  c              (  1  )

     Schau mal hier

 https://matrixcalc.org/de/#%7B%7Ba,b%7D,%7Bc,d%7D%7D%2A%7B%7B0,2%7D,%7B-1,0%7D%7D

      

     B  A  =         2  c      2 d                (  2  )

                          - a       - b

    Durch Vergleich von Matrixelement  1;2 fogt schon mal a = d ;  in der Diagonale steht also die Einheitsmatrix .  Setzen wir also a = d = 1 .  Und Vergleich  der Diagonalelemente gibt

        b  +  2  c  =  0       (  3  )

     für die Nebendiagonalelemente.

   Unsere Ausgangsmatrix hatte aber genau die Struktur  ( 3 ) , so dass nur triviale Matrizen mit B vertauschen:  Die Einheitsmatrix und sie selbst.

   Rein vom Standpunkt der QM läge dies nahe, erweist sich B doch als Linearkombination der beiden Teppenoperatoren J_+  und J_(-)   Man müsste mal die ganzen Drehimpuls_Kommutatoren nachrechnen. Wir haben Spindarstellung mit s = 1/2