Hallo ant,
Ich habe letzt eine ähnliche Frage beantwortet. Schau mal hier:
https://www.mathelounge.de/554374/wie-viele-invertierbare-2x2-matrizen-mit-eintragen-in-gibt
Du solltest wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Also auch jeder Untervektorraum. Wir betrachten hier den Körper \( K=\mathbb{F}_q \) und den VR \( V=K^n\)
Für \(k=0\) bzw. \( k=n \) ist dir bestimmt bewusst, dass es nur einen k-dim. UVR gibt. Nämlich den Nullraum bzw. V selbst.
Betrachten wir mal \( 0<k<n \):
Ein k-dim. UVR hat eine Basis der Länge k. Wie viele linear unabhängige Vektorsysteme der Länge k kannst du wählen? Unser Vektorraum hat \( q^n \) Elemente. Den ersten Vektor \( v_1 \) kannst du beliebig wählen, außer halt den Nullvektor, der hat in einer Basis nämlich nichts zu suchen, also hast du \( q^n -1 \) Möglichkeiten für den ersten Vektor. Der zweite \( v_2 \) muss jetzt linear unabhängig zum ersten sein, es darf also nicht
$$ v_2 = \lambda v_1, \quad \lambda \in K $$
gelten. K hat q Elemente also bleiben für den zweiten Vektor \( q^n - q \) Wahlmöglichkeiten. Ein dritten Vektor \( v_3 \) muss linear unabhängig sein von den ersten beiden sein, also
$$ v_3 \neq \lambda v_1 + \mu v_2, \quad \forall \lambda,\mu \in K$$
Bleiben für diesen noch \( q^n - q^2 \) Möglichkeiten. Dieses Spiel setzt du jetzt fort.
Insgesamt erhältst du
$$ (q^n -1)(q^n - q)\dotsm(q^n-q^{k-1}) $$
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So jetzt erzeugen diese Systeme alle einen UVR, aber die Basis ist ja im allgemeinen nicht eindeutig. Einige Systeme erzeugen den gleichen... Wie viele Basen kannst du in einem k-dim. UVR wählen? Gleiche Überlegung wie oben, das sind
$$ (q^k - 1)(q^k-q)\dotsm(q^k - q^{k-1})$$
Möglichkeiten.
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Ergebnis:
$$\frac{(q^n -1)(q^n - q)\dotsm(q^n-q^{k-1})}{(q^k - 1)(q^k-q)\dotsm(q^k - q^{k-1})}$$
Bei Fragen gerne melden!
