Beweis: entgegengesetztes Element eindeutig in K

Question

ist dieser Beweis in Ordnung?

Behauptung: In einem Körper K ist zu jedem Element a das entgegengesetzte Element -a eindeutig bestimmt.

Beweis: Angenommen, es gäbe zwei entgegengesetzte Elemente $$a_1, a_2 \in K$$ zu a, so dass gilt

$$a + a_1 = 0$$ und $$a + a_2 = 0$$

Wegen K2 ist $$a_1 + 0 = a_1$$. Daraus folgt

$$a_1 + (a + a_2) = a_1$$.

Wegen K1 und K4 ist

$$a_1 + (a + a_2) = a_1$$
$$\Leftrightarrow (a + a_1) + a_2 = a_1$$.

Wegen der Annahme ist

$$(a + a_1) + a_2 = a_1$$
$$\Leftrightarrow 0 + a_2 = a_1$$

und wegen K2 muss gelten, dass $$a_2 = a_1$$!

Ist das richtig? Bin mir bei der letzten Schlussfolgerung unsicher.

Danke,

Thilo

Answer 1

Hallo Thilo87,

dein Beweis ist eigentlich ziemlich weit oben schon fast fertig:

Du hast \( a + a_1 = 0 \) und \( a + a_2 = 0 \).

Eine Zeile weiter führst du schon eine "konstruktive Null" ein:

\( a_1 = a_1 + (a + a_2) = (a_1 + a) + a_2 = a_2 \).

Damit hast du bereits gezeigt, dass zwei Inverse der Zahl \( a \) nicht verschieden sein können.

MfG

Mister

PS: Da es sich um einen Widerspruchsbeweis handelt, muss man wohl eher von einer "destruktiven Null" sprechen.