Zu 1.:
Benutze den Zwischenwertsatz, um zu zeigen, dass es eine Nullstelle \(x_{*}\in[-1, 0]\) gibt. Betrachte die Ableitung \(f'\), um zu zeigen, dass \(x_{*}\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist, und um zu zeigen, dass \(x_{*}\) eine einfache Nullstelle ist.
[spoiler]
Die Funktion \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad x\mapsto x^3+x^2+2x+1\) ist stetig. Es ist \(f(-1) = \left(-1\right)^3 + \left(-1\right)^2+2\cdot \left(-1\right)+1 = -1+1-2+1 = -1 < 0\) und \(f(0) = 0^3+0^2+2\cdot 0 + 1 = 1 > 0\text{.}\)
Mit Zwischenwertsatz folgt, dass es ein \(x_{*}\in [-1, 0]\) mit \(f\left(x_*\right) = 0\) gibt.
Für alle \(x\in\mathbb{R}\) ist \(f'(x) = 3 x^2 + 2x + 2 = 2 x^2 + x^2 + 2x + 1 + 1 = 2 x^2 +(x+1)^2 + 1 \geq 1 > 0 ,\) weshalb \(f\) streng monoton steigend ist. Damit ist \(f\) insbesondere injektiv, so dass \(x_*\) die einzige Nullstelle von \(f\) ist.
Da \(f'(x)>1\) für alle \(x\in \mathbb{R}\) ist, ist insbesondere \(f'(x_{*})\ne 0\), was zeigt, dass \(x_*\) eine einfache Nullstelle von \(f\) ist.
[/spoiler]
Zu 2.:
\(x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
[spoiler]
Für \(n\in\mathbb{N}_0\) erhält man rekursiv
\(x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_{n}^3+x_{n}^2+2 x_{n} + 1}{3 x_{n}^2 + 2 x_{n} + 2}\text{.}\)
Man soll mit dem Startwert \(x_0 = -1\) beginnen. Demnach erhält man:
[Bei \(\left(\#\right)\) wurde jeweils auf 10 Nachkommastellen gerundet.]
\(\begin{aligned}x_1 & = x_0 - \frac{x_{0}^3+x_{0}^2+2 x_{0} + 1}{3 x_{0}^2 + 2 x_{0} + 2} = -1 - \frac{\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2+2 \cdot\left(-1\right) + 1}{3 \cdot\left(-1\right)^2 + 2 \cdot \left( - 1\right) + 2} \\ & = -1 - \frac{-1+1-2+ 1}{3 - 2 + 2} = -1-\frac{-1}{3}=-1+\frac{1}{3}\\ & =-\frac{2}{3}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}6666666667\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}x_2 & = x_1 - \frac{x_{1}^3+x_{1}^2+2 x_{1} + 1}{3 x_{1}^2 + 2 x_{1} + 2} = -\frac{2}{3} - \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+2 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right) + 1}{3 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left( - \frac{2}{3}\right) + 2} \\ & = \dots = -\frac{31}{54}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}5740740741\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}x_3 & = x_2 - \frac{x_{2}^3+x_{2}^2+2 x_{2} + 1}{3 x_{2}^2 + 2 x_{2} + 2} = -\frac{31}{54} - \frac{\left(-\frac{31}{54}\right)^3+\left(-\frac{31}{54}\right)^2+2 \cdot\left(-\frac{31}{54}\right) + 1}{3 \cdot\left(-\frac{31}{54}\right)^2 + 2 \cdot \left( -\frac{31}{54}\right) + 2} \\ & = \dots = -\frac{82576}{144909}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}5698472835\end{aligned}\)
Vermutung: Die ersten \(5\) Nachkommastellen von \(x_*\) sind gegeben durch \(x_* = -0{,}56984\ldots\).
Es ist \(f(-0{,}56985) = \ldots = -0{,}000017810971625 < 0\) und \(f(-0{,}56984) = \ldots = 0{,}000000533828096 > 0,\) was zeigt, dass die Vermutung richtig ist. Denn es ist \(-0{,}56985 < x_{*} < -0{,}56984\).
[/spoiler]
