Einfach gesagt, sind die Nullstellen im Nenner die Problemstellen, die man als erstes sucht, denn bekanntlich darf man nicht durch Null teilen. Diese Stellen liefern dann die Polstellen - aber nur (!) - wenn nicht gleichzeitig an diesen Stellen auch der Zähler Null wird - denn dann hätte man einen Typ Null durch Null, der nicht definiert ist und alles mögliche sein kann.
Beispiel:
a) 1/(x-1) - offensichtlich eine Polstelle bei x=1 (‚schweres’ Problem, Kurve läuft gegen +/- Unendlich
b) (x-1)/(x-1) - auch nicht für x=1 definiert - aber da im Zähler dasselbe wie im Nenner steht, kann ich kürzen und die Funktion ist eigentlich 1, also kein Problem bei x=1. die ursprüngliche Funktion ist nach wie vor bei x=1nicht definiert, man könnte Sie aber an der Stelle mit Funktionswert 1 ergänzen. Dieses Problem ist eher harmlos, man bezeichnet den Fall als (behebbare) Definitionslücke.
c) (x-1)/(x-1)^2 - dasselbe Problem wie unter a), man kann zwar ‚kürzen‘, aber eine Nullstelle im Nenner bleibt übrig, ergo Polstelle
d) (x-1)^2/(x-1) - jetzt bleibt (x-1) im Zähler übrig, also harmlose Definitionslücke)
Wie man sieht, kann 0/0 alles mögliche sein.
Fazit: Für Polstellen sind nur die Nenner ausschlaggebend, aber man prüft immer auch, was bei diesen Stellen im Zähler passiert, um den Fall b) zu erkennen, falls er denn vorliegt.
Von der Vorgehensweise ist es häufig umgekehrt. Man sucht ohnehin meistens als erstes die Nullstellen der Funktion, also hier des Zählers und prüft kann, ob diese Werte im Definitionsberech liegen (also der Nenner nicht Null wird). Führt somit zum selben Ergebnis.