Wie rechnet man die erste Nullstelle mit Hilfe der Polynomdivision schnell aus?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle x^{3}-8 x+11=0 \)

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich die erste Nullstelle mit Hilfe der Polynomdivision schnell aus?

Ich habe z.B. als Probe die +- 1 und +-11 eingesetzt aber ich komme nicht auf die erste Nullstelle

Comments

Diese Division setzt voraus, dass es ganzzahlige Nullstellen, hier Teiler von 11, gibt. Das ist nicht der Fall. Wer will, dass du diese nicht mögliche Division machst? Oder war das nur deine nicht zuende gedachte Idee.

Es gibt eine Formel, mit der lösen könnte. Sie ist aber nicht sehr angenehm.

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/cardanische-formel

Das Beispiel 1 ist analog zu deiner Gleichung.

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Diese Division setzt voraus, dass es ganzzahlige Nullstellen, hier Teiler von 11, gibt.

Das ist nicht korrekt. Eine Polynomdivision lässt sich immer durchführen, wenn man einen Linearfaktor hat. Dafür muss die Nullstelle nicht ganzzahlig sein. Allerdings ist es eher unüblich bzw. schwierig, rationale Nullstellen, die nicht ganzzahlig sind, zu erraten.

Wer will, dass du diese nicht mögliche Division machst?

Niemand. Diese Frage hat sich aber bereits längst geklärt. Vielleicht sollte man auch mal die bisherigen Antworten und Kommentare lesen und hier nicht nur mit einem Tunnelblick herumlaufen, zumindest, wenn man ernsthaft helfen möchte.

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zumindest, wenn man ernsthaft helfen möchte.

Der Verweis auf Cardano ist dann auch keine ernsthafte Hilfe hier? Gut zu wissen.

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Wurde mit keinem einzigen Wort gesagt.

Answer 1

Es gibt hier keine ganzzahlige Nullstelle. Mit Polynomdivision kommst du hier also gar nicht weiter. Du musst hier also ein numerisches Verfahren anwenden.

Comments

Wie funktioniert das numerische Verfahren?

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Ein übliches Verfahren ist zum Beispiel das Newton-Verfahren.

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Poste die Aufgabe mal vollständig im Original. Steht da wirklich "berechne die Nullstellen"?

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moment schicke euch gleich alles

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das ist die Aufgabenstellung und das ist meine Rechnung bisher, sieht das bis jetzt gut aus?

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). a) Bestimmen Sie für folgende rationale Funktion den maximalen Definitionsbereich, die Polstellen und das asymptotische Verhalten an den Polstellen und den Grenzwert für \( x \rightarrow \pm \infty \).
\( f(x)=\frac{x^{3}-8 x+11}{x^{2}-4 x+4} \)

Text erkannt:

Bonnsaufgabe:
a.) \( f(x)=\frac{x^{2}-8 x+11}{x^{2}-4 x+4} \)

UST des Nenners:
\( \begin{array}{l} x^{2}-4 x+4=0 \quad \mathrm{pQ} \cdot \text { Formel } \\ x_{1,2}=-\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^{2}-4} \\ x_{1,2}=2 \pm \sqrt{4-4} \\ x_{1,2}=2 \pm 0 \\ x_{1,2}=2 \rightarrow \text { NST } \\ \Rightarrow D_{f}=\mathbb{R} \backslash\{2\} \end{array} \)

NST des Zählers:
\( p(x)=x^{3}-8 x+11=0 \)

Neuton-Vefotiven:
Statwort heravefiden:
\( p(0)=11 \) positiv, also ghen wir in den negotiven Bercidh, un au showen, wann ön Vorecidenwehbel statfindet
\( \begin{array}{l} p(-1)=-1+8+11=18 \text { positiv } \\ p(-2)=-8+16+11=19 \text { positiv } \\ p(-3)=-27+24+11=8 \text { positiv } \\ p(-4)=-64+32+11=-21 \text { negativ } \end{array} \)

Das Vorzeichen wechselt zwischen \( x=-3 \) und \( x=-4 \)
Miltelwert: \( x_{0}=\frac{-3+(-4)}{2}=-3,5 \rightarrow \) startwert firr das Neiton-Verahren

Text erkannt:

Neuton-Vofahren:
\( p(x)=x^{3}-8 x+11 \quad x_{0}=-3,5 \)

Formel: \( \quad x_{n+1}=x_{n}-\frac{P\left(x_{n}\right)}{P^{\prime}\left(x_{n}\right)} \)
\( \begin{aligned} p(x) & =3 x^{2}-8 \\ p(-3,5) & =(-3,5)^{3}-8 \cdot(-3,5)+11 \\ & =-42,875+28+11 \\ & =-42,875+39 \\ & =-3,875 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} p^{\prime}(-3,5) & =3 \cdot(-3,5)^{2}-8 \\ & =3 \cdot 12,25-8 \\ & =36,75-8 \\ & =28,75 \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} x_{1} & =-3,5-\frac{-3,875}{28,75} \\ x_{1} & =-3,5+0,134 \\ & =-3,366 \end{aligned} \)

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Aha, dachte ich mir. Wo liest Du da was von Nullstellen? Oberste Regel: Löse keine Aufgaben(teile), die gar nicht gestellt sind.

Und die binomische Formel im Nenner darfst Du auch gerne direkt erkennen, ohne blind die pq-Formel zu verwenden.

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Immer dasselbe, kaum ist die Aufgabenstellung geklärt, kommt ein Lösungsspoiler auf die Bühne, der keine Geduld hat Lernfortschritte zu begleiten. Traurig.

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Wenn man die Polstelle berechnen will, braucht man doch die Nullstelle vom Nenner und vom Zähler, um zu schauen, ob es eventuell Definitionslücken vorhanden sind, oder nicht?

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Dann prüfst du, ob die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers sind. Dafür musst du diese aber nicht berechnen, sondern nur in den Zähler einsetzen. ;)

@nudger: Natürlich, hast du etwas anderes erwartet?

Answer 2

a) Bestimmen Sie für folgende rationale Funktion den maximalen Definitionsbereich, die Polstellen und das asymptotische Verhalten an den Polstellen und den Grenzwert für x → ± ∞.

f(x) = (x³ - 8x + 11)/(x² - 4x + 4) = (x³ - 8x + 11)/(x - 2)²

2 ist einzige Nullstelle des Nenners, aber nicht des Zählers. Damit kann man die Funktion nicht stetig ergänzen. Hier brauchen wir also nur Prüfen, ob eine Nullstelle des Nenners auch Nullstelle des Zählers ist. Das geschieht durch Einsetzen.

maximalen Definitionsbereich

d = R \ {2}

die Polstellen

x = 2

asymptotische Verhalten an den Polstellen

lim x → 2^- f(x) = ∞
lim x → 2⁺ f(x) = ∞

Grenzwert für x → ± ∞.

Schräge Asymptote: y = x + 4

lim x → -∞ f(x) = -∞
lim x → ∞ f(x) = ∞

Nach Nullstellen wird nicht gefragt und müssen daher auch nicht ausgerechnet werden.

Comments

Können im Zähler Polstellen existieren? In der Übung wurden die Nullstellen vom Zähler auch berechnet aber ich weiß nicht wieso

Text erkannt:

\( \left\lvert\, \begin{array}{c}\left.\text { NST } \begin{array}{c}\text { des Nennerg. } \\ 2 x^{2}-8 \\ 2 x^{2}-8=0 \Leftrightarrow 2 x^{2}=8 \\ \Leftrightarrow x^{2}=4 \\ \Leftrightarrow D_{f}=\mathbb{R} \backslash\{-2,2\}\end{array}\right) \\ \text { NST des Zahlers } \\ -3 x^{2}+12 x-12=0 \Leftrightarrow x^{2}-4 x+4=0 \\ P x \\ \Rightarrow x_{1,2}=2 \pm \sqrt{2^{2}-4}=2 \\ \Rightarrow-3 x^{2}+12 x-12=-3(x-2)^{2}\end{array}\right. \)

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Können im Zähler Polstellen existieren?

Weder die Funktion im Zäher noch die im Nenner können Polstellen haben.

Eine gebrochen rationale Funktion hat Polstellen dort, wo die Nennerfunktion eine Nullstelle hat und die Zählerfunktion nicht den Wert 0 annimmt.

Damit brauchen wir nur die Nullstellen der Nennerfunktion in die Zählerfunktion einsetzen und prüfen, ob das auch Nullstellen der Zählerfunktion sind.

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Ich hab’s nicht so ganz verstanden .. entschuldige

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apfelmännchen hat's Dir oben in zwei Zeilen erklärt.

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Einfach gesagt, sind die Nullstellen im Nenner die Problemstellen, die man als erstes sucht, denn bekanntlich darf man nicht durch Null teilen. Diese Stellen liefern dann die Polstellen - aber nur (!) - wenn nicht gleichzeitig an diesen Stellen auch der Zähler Null wird - denn dann hätte man einen Typ Null durch Null, der nicht definiert ist und alles mögliche sein kann.

Beispiel:

a) 1/(x-1) - offensichtlich eine Polstelle bei x=1 (‚schweres’ Problem, Kurve läuft gegen +/- Unendlich

b) (x-1)/(x-1) - auch nicht für x=1 definiert - aber da im Zähler dasselbe wie im Nenner steht, kann ich kürzen und die Funktion ist eigentlich 1, also kein Problem bei x=1. die ursprüngliche Funktion ist nach wie vor bei x=1nicht definiert, man könnte Sie aber an der Stelle mit Funktionswert 1 ergänzen. Dieses Problem ist eher harmlos, man bezeichnet den Fall als (behebbare) Definitionslücke.

c) (x-1)/(x-1)^2 - dasselbe Problem wie unter a), man kann zwar ‚kürzen‘, aber eine Nullstelle im Nenner bleibt übrig, ergo Polstelle

d) (x-1)^2/(x-1) - jetzt bleibt (x-1) im Zähler übrig, also harmlose Definitionslücke)

Wie man sieht, kann 0/0 alles mögliche sein.

Fazit: Für Polstellen sind nur die Nenner ausschlaggebend, aber man prüft immer auch, was bei diesen Stellen im Zähler passiert, um den Fall b) zu erkennen, falls er denn vorliegt.

Von der Vorgehensweise ist es häufig umgekehrt. Man sucht ohnehin meistens als erstes die Nullstellen der Funktion, also hier des Zählers und prüft kann, ob diese Werte im Definitionsberech liegen (also der Nenner nicht Null wird). Führt somit zum selben Ergebnis.

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Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung

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Von der Vorgehensweise ist es häufig umgekehrt. Man sucht ohnehin meistens als erstes die Nullstellen der Funktion, also hier des Zählers und prüft kann, ob diese Werte im Definitionsberech liegen (also der Nenner nicht Null wird). Führt somit zum selben Ergebnis.

Deswegen sollte man Aufgaben auch lesen und nicht einfach nur irgendwelche Vorgehensweisen nach Rezept lernen.

Das Vorgehen in der Übung ist jedenfalls didaktisch sehr unklug, es sei denn, die Aufgabe verlangte, dass man auch die Nullstellen der Funktion berechnen soll. Der Unterschied dort ist aber, dass sich die Nullstellen des Zählers sehr leicht berechnen lassen, was hier eben nicht der Fall ist.

Das ist wieder ein wunderbares Beispiel dafür, warum Musterlösungen schlecht sind, wenn man nicht weiß, was man tut. Sie fördern nämlich - wie dieses Beispiel eindrucksvoll beweist - keinerlei Verständnis, sondern vermitteln eine Vorgehensweise, die nicht immer notwendig und damit zielführend ist. Wichtiger ist es jedoch, Verständnis aufzubauen und auch zu verstehen, warum man gewisse Dinge tut. Das vermitteln Musterlösungen meistens aber nicht.

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wie kommst du auf y=x+4?

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Führe eine Polynomdivision der gebrochenrationalen Funktion durch. Du erhältst dann einen Term der Form \(r(x)=x+4+\frac{q(x)}{N(x)}\), wobei \(N(x)\) der Nenner deiner Ausgangsfunktion ist. Aufgrund der Polynomdivision ist der Grad von \(q\) kleiner als der Grad von \(N\), so dass für \(|x|\to \infty\) dieser Term verschwindet. Der Graph deiner Funktion verhält sich dann asymptotisch wie der Graph von \(x+4\).

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Vielen lieben Dank