Die Lösungsmenge einer Gleichung/Ungleichung besteht aus allen Zahlen, die die Gleichung/Ungleichung erfüllen.
[Da dazu nichts weiter angegeben ist, nehme ich im Folgenden die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) als Grundmenge an.]
Die Lösungsmenge der Ungleichung \(\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - 3 \leq 0\) ist demnach die Menge \(\left\lbrace x\in\mathbb{R}\middle| \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - 3 \leq 0 \right\rbrace\), welche alle \(x\in \mathbb{R}\) enthält, die die Ungleichung \(\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - 3 \leq 0\) erfüllen.
Setzt man beispielsweise \(x = 1\) in die Ungleichung ein erhält man \(\frac{1}{2}\cdot 1^2 -\frac{1}{2}\cdot 1 - 3 \leq 0\), also \(-3 \leq 0\). Man erhält dann also eine wahre Aussage, weshalb \(x = 1\) die Ungleichung erfüllt. Demnach ist \(1\) in der Lösungsmenge enthalten.
Setzt man beispielsweise \(x = 4\) in die Ungleichung ein erhält man \(\frac{1}{2}\cdot 4^2 -\frac{1}{2}\cdot 4 - 3 \leq 0\), also \(3 \leq 0\). Man erhält dann also eine falsche Aussage, weshalb \(x = 4\) die Ungleichung nicht erfüllt. Demnach ist \(4\) nicht in der Lösungsmenge enthalten.
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Nun möchte man die Lösungsmenge in der Regel nicht einfach in der Form \(\left\lbrace x\in\mathbb{R}\middle| \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - 3 \leq 0 \right\rbrace\) angeben. Sondern man möchte die Lösungen so konkret wie möglich bestimmen. Dazu lösen wir die Ungleichung. Wir formen die Ungleichung also um, bis wir die Lösungen ablesen können. Bei einer solchen quadratischen Ungleichung wie im vorliegenden Fall, bietet sich eine quadratische Ergänzung an ...
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\(\frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x - 3 \leq 0\)
Zunächst multipliziere ich mit \(2\), um die Brüche loszuwerden. (Wegen \(2 >0\) ist Multiplikation mit 2 eine Äquivalenzumformung.)
\(x^2 - x - 6 \leq 0\)
Nun möchte ich \(x^2 - x\) zu einer binomischen Formel ergänzen, dazu fehlt mir \(+\frac{1}{4}\), welches ich ergänze. Ich addiere \(6\). Und dann addiere ich \(\frac{1}{4}\).
\(x^2 - x + \frac{1}{4} \leq 6 + \frac{1}{4}\)
Nun habe ich auf der linken Seite eine binomische Formel stehen. Um dir dies zu verdeutlichen, schreibe ich die linke Seite ein wenig um.
\(x^2 - 2\cdot x\cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \leq 6 + \frac{1}{4}\)
Damit habe ich nun:
\(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \leq 6 + \frac{1}{4}\)
Bei der rechten Seite fasse ich \(6 + \frac{1}{4}\) zu \(\frac{25}{4}\) zusammen.
\(\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{25}{4}\)
Nun ziehe ich auf beiden Seiten die Quadratwurzel.
\(\left\lvert x - \frac{1}{2}\right\rvert \leq \frac{5}{2}\)
Beachte, dass auf der linken Seite nicht \(x - \frac{1}{2}\) steht, sondern \(\left\lvert x - \frac{1}{2}\right\rvert\), denn wenn \(x - \frac{1}{2}\) negativ ist, ist \(\sqrt{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2}\ne x - \frac{1}{2}\). Beispielsweise ist \(\sqrt{\left(-2\right)^2}=\sqrt{4}=2\ne -2\).
Nun mache ich eine Fallunterscheidung, um den Betrag wegzubekommen.
1. Fall: \(x - \frac{1}{2} \geq 0\), also \(x\geq \frac{1}{2}\)
In diesem Fall erhält man:
\(x - \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}\)
Addition von \(\frac{1}{2}\) liefert:
\(x \leq 3\)
Damit sind alle \(x\in \mathbb{R}\) mit \(\frac{1}{2}\leq x\leq 3\) in der Lösungsmenge enthalten.
2. Fall: \(x - \frac{1}{2} < 0\), also \(x < \frac{1}{2}\)
In diesem Fall erhält man:
\(-\left(x - \frac{1}{2}\right) \leq \frac{5}{2}\)
\(- x + \frac{1}{2} \leq \frac{5}{2}\)
Subtraktion von \(\frac{1}{2}\) liefert:
\(-x \leq 2\)
Multipliziere mit \(-1\), um Minus bei \(-x\) wegzubekommen. (Wegen \(-1 < 0\) dreht sich dabei das Relationszeichen \(\leq\) zu einem \(\geq \) um.)
\(x \geq -2\)
Damit sind alle \(x\in \mathbb{R}\) mit \(-2\leq x < \frac{1}{2}\) in der Lösungsmenge enthalten.
[Ende der Fallunterscheidung]
Ergebnis: Die Lösungsmenge ist \[\left\lbrace x\in\mathbb{R} \middle| \frac{1}{2}\leq x\leq 3\text{ oder }-2\leq x < \frac{1}{2}\right\rbrace\text{.}\] Die Ergebnisse der einzelnen Fälle kann man auch zusammenfassen, um \[\left\lbrace x\in\mathbb{R} \middle| -2\leq x \leq 3\right\rbrace\] als Lösungsmenge zu erhalten. Man kann die Lösungsmenge auch in Intervallschreibweise angeben, wenn man möchte: \[\left[-2, 3\right]\]
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Alternativ:
Ansonsten könnte man zunächst auch die Gleichung \(\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - 3 = 0\) lösen, um die Nullstellen der durch \(y = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - 3\) gegebenen Parabel zu bestimmen ...
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\(\begin{aligned}\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - 3 = 0 \quad & \Leftrightarrow\quad x^2 - x - 6 = 0 \\ & \Leftrightarrow\quad x = \frac{-\left(-1\right)\pm\sqrt{\left(-1\right)^2 -4\cdot \left(-6\right)}}{2} \\ & \Leftrightarrow\quad x = \frac{1\pm\sqrt{25}}{2} \\ & \Leftrightarrow\quad x = \frac{1\pm 5}{2} \\ & \Leftrightarrow\quad x = \frac{1-5}{2}\text{ oder }x = \frac{1+5}{2} \\ & \Leftrightarrow\quad x = -2\text{ oder }x = 3 \end{aligned}\)
~plot~ 1/2 * x^2 - 1/2 * x - 3 ~plot~
Die durch \(y = \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - 3\) gegebene Parabel ist nach oben geöffnet, da der Leitkoeffizient \(\frac{1}{2}\) positiv ist. Demnach ist \(y > 0\) für \(x > -2\) bzw. für \(x > 3\) und es ist \(y \leq 0\) für \(-2 \leq x \leq 3\). Daher ist \(x\) genau dann eine Lösung der Ungleichung \(\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{2} x - 3\leq 0\), wenn \(-2 \leq x \leq 3\) ist.
Ergebnis: Die Lösungsmenge ist \[\left\lbrace x\in\mathbb{R} \middle| -2\leq x \leq 3\text{.}\right\rbrace\] Man kann die Lösungsmenge auch in Intervallschreibweise angeben, wenn man möchte: \[\left[-2, 3\right]\]
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