Aloha :)
Wir untersuchen die Ungleichung:$$\frac{(x-1)(3-x)}{(x+5)^2}\le0\quad;\quad x\ne-5$$Damit nicht durcn Null dividiert wrid, muss \(\,x\ne-5\,\) gelten.
Für alle anderen \(x\)-Werte ist \(\,(x+5)^2>0\,\). Daher bleibt das Relationszeichen \(\le\) erhalten, wenn wir beide Seiten der Ungleichung mit \(\,(x+5)^2\,\) multiplizieren:$$(x-1)(3-x)\le0$$
Im nächsten Schritt multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung mit \((-1)\). Dabei ändert sich das Relationszeichen von \(\le\) zu \(\ge\):$$-(x-1)(3-x)\ge0\quad\implies$$Um das vordere Minuszeichen loszuwerden, multiplizeren wir den Faktor \((3-x)\) mit \((-1)\), wodurch dieser zu \((x-3)\) wird:$$(x-1)(x-3)\ge0$$
Nun haben wir ein Produkt aus zwei Zahlen, \((x-1)\) und \((x-3)\). Damit dieses Produkt \(\ge0\) ist, müssen beide Werte \(\ge0\) oder beide Werte \(\le0\) sein.
1. Fall: Beide Werte sind \(\ge0\)$$(x-1)\ge0\implies x\ge1$$$$(x-3)\ge0\implies x\ge3$$Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn \(x\ge3\) gilt.
2. Fall: Beide Werte sind \(\le0\)$$(x-1)\le0\implies x\le1$$$$(x-3)\le0\implies x\le3$$Beide Bedingungen sind nur dann erfüllt, wenn \(x\le1\) gilt.
Zusammengefasst ist die Ungleichung also erfüllt, wenn \(x\ge3\) oder \(x\le1\) ist. Beachten wir noch die Einschränkung, dass \(x\ne-5\) sein muss, heißt das für unsere Lösungmenge:$$\mathbb L=\{x\in\mathbb R\big|\,(x\le1\land x\ne-5)\lor x\ge3\}$$
