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Bestimmen Sie das Maximum und das Minimum von f: R n → R mit

 f(x) := ∑i=1 n xi unter der Nebenbedingung ∑ i=1 n xi 2

mit  Hilfe der Lagrangschen Multiplikationsmethode. Überprüfen Sie Ich Ergebnis mit Hilfe der Cauchy- Schwarzschen

Ungleichung.

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Hallo

 heisst das xi oder xi in der Summe? und die nebenbedingung ist ein Ausdruck bzw. Term kene Bedingung.

wo scheiterst du denn? denn grad f ist doch egal was nun f ist leicht zu berechnen? Wenn du Schwierigkeiten mit n hast, machs erstmal mit n=2 oder 3.

Gruß lul

gemeint ist folgendes:

x.PNG

 

ich habe die gleiche Aufgabe.

Es geht um $$ f(x)=\sum_{i=1}^n x_i $$ unter Nebenbedingung  $$ \sum_{i=1}^n x^2_i $$


Dann ist die Langrangefunktion: $$L(x_1,...,x_n, \lambda) =\sum_{i=1}^n x_i + \lambda (\sum_{i=1}^n x^2_i -1 )$$

Wenn ich den Gradienten von L =0 setze, erhalte ich n+1 Gleichungen, z.b


$$L_{x_1}=  1+\lambda 2 x_1=0 $$


bis

$$L_{x_n}=  1+\lambda 2 x_n=0 $$


und dann noch $$L_{\lambda}=(\sum_{i=1}^n x^2_i -1 ) =0  $$


Wie löse ich das am besten?

Es ist \(x_i=-\frac{1}{2\lambda}\) für alle \(i\). Also \(x_1=\cdots= x_n\).

Aber muss man das danm nicht in die letzte Gleichung noch einsetzen. Man erhält doch dann $$ \lambda= \sqrt{n}/2   $$ ?

\(\lambda\) interessiert am Ende nicht. Gesucht sind \(x_1,\ldots,x_n\).

Was hilft dann meine letzte Gleichung?

Und was habe ich jetzt davon dass$$ x_i=-1/2\lambda$$ ist?

Was kann ich aussagen?

Rechne wie Du willst. Mit oder ohne Lambda. Hauptsache, Du kannst die xi angeben.

Dann ist $$lambda  =+\sqrt{n}/2 $$

Und damit $$ f(x)= n \sqrt{n}/2 $$ ist das richtig?

Wie überprüft man das Ergebnis mit Cauchy Schwarz?

Noch mal: Gefragt ist nach den xi. Die sollst Du angeben. Das Lambda interessiert nicht, auch wenn Du es ausgerechnet hast.  Und es gibt auch zwei Lösungen. Eine für die Minimalstelle und eine für die Maximalstelle.

Ich verstehe nicht wie ich die x_i angeben soll. Kannst du mir da nochmal helfen?

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Gesucht sind Maximum und Minimum von \(f : \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}\) mit \(f(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i\) unter der Nebenbedingung \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1\). Die Nebenbedingung kann man äquivalent zu \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} - 1 = 0\) umformen.

Betrachte nun die Lagrange-Funktion \(L\), welche durch \[L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = f(x_1, \dots, x_n) +\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)=\sum_{i=1}^{n} x_i+\lambda\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1\right)\] gegeben ist. Nun ist das Gleichungssystem \(\nabla L (x_1, \dots, x_n, \lambda) = 0\) zu lösen.

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : \frac{\partial}{\partial x_k}L(x_1, \dots, x_n, \lambda) =0\\ \frac{\partial}{\partial \lambda}L(x_1, \dots, x_n, \lambda ) =0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : 1+\lambda\cdot 2\cdot x_{k}=0\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}\)

Auflösen der ersten Gleichungen nach \(x_{k}\).

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-1=0\end{cases}\)

Einsetzen in der ersten Gleichungen in die letzte Gleichung und Auflösen nach \(\lambda\).

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\left(-\frac{1}{2\lambda}\right)^{2}-1=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}-1=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ n\cdot\frac{1}{4\lambda^2}= 1\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \frac{n}{4}= \lambda^2\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\lambda}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)

Einsetzen der letzen Gleichung in die ersten Gleichungen.

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=-\frac{1}{2\cdot\left(\pm \frac{\sqrt{n}}{2}\right)}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}\forall k\in{1, \dots, n} : x_{k}=\mp\frac{1}{\sqrt{n}}\\ \lambda = \pm \frac{\sqrt{n}}{2}\end{cases}\)

Damit hat man zwei kritische Punkte:
\(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) bzw. \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)\)

Da die Nebenbedingung \(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = 1\) eine kompakte Menge im \(\mathbb{R}^n\) beschreibt, und \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) ststig ist, existieren Maximum und Minimum von \(f\) unter der Nebenbedingung. Ein kritischer Punkt muss nun die Minimumstelle sein und der andere kritische Punkt die Maximumstelle. Es ist \[f\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = n\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = -\sqrt{n}<0\] und \[f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n}} = n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}} = \sqrt{n}>0\text{.}\]

Demnach befindet sich das Minimum von \(f\) unter der Nebenbedingung bei \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, -\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) und hat den Wert \(-\sqrt{n}\), und das Maximum von \(f\) unter der Nebenbedingung befindet sich bei \(\left(x_1, \dots, x_n\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{n}}, \dots, \frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) und hat den Wert \(\sqrt{n}\).

==========

Mit der Schwarzschen Ungleichung erhält man \[\begin{aligned}\left\lvert f \left(x\right) \right\rvert^2  & = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i \right\rvert^2 = \left\lvert \sum_{i=1}^{n}x_i\cdot 1 \right\rvert^2 \\ & =\left\lvert \left\langle\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rangle \right\rvert^2 \\ & \leq \left\lVert\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{n}\end{pmatrix}\right\rVert^{2}\cdot \left\lVert\begin{pmatrix}1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\right\rVert^{2} \\ & = \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)}_{=1 \text{wegen Nebenbedingung}}\cdot \underbrace{\left(\sum_{i=1}^{n} 1^{2}\right)}_{=n} = n\text{.}\end{aligned}\] also \(\left\lvert f\left(x \right)\right\rvert\leq \sqrt{n}\). Damit erhält man \(-\sqrt{n}\leq f(x) \leq \sqrt{n}\) für alle \(x\in \mathbb{R}\), die die Nebenbedingung erfüllen. Diese Abschätzung stimmt gut mit den Werten \(-\sqrt{n}\) bzw. \(\sqrt{n}\) für das Minimum bzw. Maximum von \(f\) unter der Nebenbedingung überein.

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Tausen Dank:)

Jetzt habe ich alles verstanden:)

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