Begründe, dass durch x^3-3x+2+ye^{y^2}=0 implizit eine Funktion y=f(x) auf R definiert ist.

Question

Begründen Sie, dass durch die Gleichung \(x^3-3x+2+y\text{e}^{y^2}=0\) implizit eine Funktion y= f(x) auf R definiert ist. Untersuchen Sie f auf lokale Extremwerte.

_{(Gast az0815: Änderungen an Titel und Frage gemäß Kommentar durchgeführt.)}

Comments

Es muss: x³- 3x + 2 + ye^{y^2} = 0 heißen.

Answer 1

Zum ersten Teil: \(g(y)=y\exp y^2\) ist streng monoton wachsend und bildet \(\mathbb{R}\) auf \(\mathbb{R}\) ab. Es existiert also die Umkehrfunktion \(g^{-1}\), die ebenfalls streng monoton wachsend ist und \(\mathbb{R}\) auf \(\mathbb{R}\) abbildet, und wir haben \(f(x):=y=g^{-1}(-x^3+3x-2)\).