Richtungsableitung bestimmen

Question

Gegeben ist f mit f(x, y, z) = $$\begin{pmatrix} ln\frac{x^6}{y^6}\\ln\frac{y^6}{z^6}\\ln\frac{z^6}{x^6} \end{pmatrix}$$ für x, y , z > 0 und e = $$\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}$$

Bestimmen Sie die Richtungsableitung $$\frac{∂f}{∂e} (-1, -2, -3)$$

Comments

Richtungsableitung = Gradient * Richtungsvektor. Jetzt rechne selber.

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Die Aufgabe macht so nicht viel Sinn. Die Funktion \(f\) ist in der Aufgabenstellung nur für \(x, y, z>0\) definiert worden. Und nun soll eine Richtungsableitung an der Stelle \((-1, -2, -3)\) berechnet werden?

Answer 1

für x, y , z > 0

Ich gehe mal von der (sinnvolleren) Voraussetzung x, y , z ≠  0  (statt > 0) aus.

Die gesuchte Richtungsableitung ergibt sich als Produkt der

Jacobimatrix der Vektorfunktion f

$$\begin{pmatrix} ∂f_1/∂x&∂f_1/∂y&∂f_1/∂z\\ ∂f_2/∂x&∂f_2/∂y&∂f_2/∂z\\ ∂f_3/∂x&∂f_3/∂y&∂f_3/∂z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6/x&-6/y&0\\ 0&6/y&-6/z\\ -6/x&0&6/z\end{pmatrix}$$ im Punkt (-1, -2, -3) mit dem Vektor \(\vec{e}\): $$\begin{pmatrix} -6&3&0\\ 0&-3&2\\ 6&0&-2\end{pmatrix}·\frac { 1 }{ \sqrt{6}}·\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2·\sqrt{6} \\ \frac { - 2·\sqrt{6}}{ 3 } \\  \frac { - 4·\sqrt{6}}{ 3 } \end{pmatrix}$$Gruß Wolfgang