Einheitsvektoren Kreuzprodukt

Question

Es geht um Einheitsvektoren.

e_x Skalarprodukt mit e_y ergibt Null richtig?

e_x kreuz e_y ergibt ja e_z

Ist dann e_r kreuz e_phi gleich e_z ?

Comments

e_x Skalarprodukt mit e_y ergibt Null richtig?

Ja das ist richtig.

Was ist \(e_r\) und \(e_{\varphi}\)?

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Danke:)

Polarkoordianten        

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Polarkoordianten

Nun - 'Polarkoordianten' sind keine Vektoren, sondern werden i.A. mit \(r\) und \(\varphi\) bezeichnet. Was wäre dann z.B. unter \(e_r \times e_{\varphi}\) zu verstehen - oder gar \(r \times \varphi\)?

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r und φ sind reelle Zahlen und das sind nicht mal Polarkoordinaten im Raum sondern höchstens in einer Ebene.

Da kann man weder ein Skalar- noch ein Kreuzprodukt wie bei Vektoren bilden.

Also ist das Vorhaben eines Kreuzproduktes hochgradiger Unsinn. Und dann kann auch ganz bestimmt nicht ez heraus kommen.

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Na klar kann man das.

Es ist e_r =(COS(φ),sin(φ),0)

e_φ=(-rsin(φ),rcos(φ),0) und e_z=(0,0,1)

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Es ist e_r =(COS(φ),sin(φ),0) 
e_φ=(-r sin(φ),r cos(φ),0)

Interessant, das habe ich noch nie gesehen. Dann ist aber auch \(|e_{\varphi}| = r \ne 1\)  und $$e_r \times e_{\varphi} = r \cdot e_z \ne e_z$$ oder?

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Ah sorry habe das r bei e_phi zu viel! Hab nur abgeleitet und vergessen zu normieren ;)

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Aus der Physik der Kreisbewegung in der x-y-Ebene ist vielleicht die Beziehung 
v  =  ω × r  bekannt, in der 
r = (r·cos φ , r·sin φ , 0)^T  =  r·(cos φ , sin φ , 0)^T  =  r·e_(r)  und 
v  =  dr / dt  =  r·(-sin φ , cos φ , 0)^T·dφ/dt  sowie
ω  =  (0 , 0 , dφ/dt)^T   ein axialer Vektor in z-Richtung (!) ist.

Wie das aus einem Vektor φ in der x-y-Ebene gemäß  ω  =  dφ/dt  entstehen soll, müsste wohl erklärt werden.

Answer 1

ja das ist alles richtig.

e_r,e_φ,e_z bilden ebenso ein Rechtssystem.

Comments

Danke.

e_r kreuz e_z=e_phi? Hier gibt es nie ein negatives Vorzeichen, egal was man miteinander kreuzt oder? (e_r, e_phi, e_z)

Kannst Du das auch noch kontrollieren?
e_r * e_r=1

e_r * e_phi=0

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Es gilt e_r kreuz e_phi=e_z

Wenn du in der Gleichung zwei Vektoren,also z.B e_phi und e_z tauschsts, dann kommt ein Minus in die Glechung.

e_r kreuz e_z=  - e_phi

Deine letzten beiden Gleichungen stimmen. Die Einheitsvektoren sind orthonormiert.