Aufgabe:
Könnte jemand über die Aufgabe c rüberschauen, ob es richtig ist? Und könnte mir jemand b.) erklären
Text erkannt:
c.)
\( \begin{aligned} \vec{c} & =\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4 \cdot(-1)-(-2) \cdot 2 \\ -2 \cdot 4-3 \cdot(-1) \cdot \\ 3 \cdot 2-4 \cdot 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -5 \\ -10 \end{array}\right)=\vec{e} \\ & \rightarrow \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ -2 \\ -2 \end{array} \end{aligned} \)
Probe: \( \vec{c} \perp \vec{e}:\left(\begin{array}{c}3 \\ 4 \\ -2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=3 \cdot 0-20+20=0 \)
Probe: \( \vec{d} \perp \vec{e}\left(\begin{array}{c}4 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}0 \\ -5 \\ -10\end{array}\right)=4 \cdot 0-10+10=0 \)
Normieren: \( |\vec{c}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{29} \)
\( \begin{aligned} \vec{e} & =\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\frac{1}{\sqrt{2 g}} \cdot\binom{3}{-2} \\ -\vec{e} & =-\frac{\overrightarrow{2}}{|\vec{c}|}=-\frac{1}{\sqrt{25}} \cdot\left(\begin{array}{l} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{23}} \cdot\binom{-3}{2} \end{aligned} \)
\( \Rightarrow \vec{e} \) Einheitsvelstor mit \( (\vec{c}, \vec{d}, \vec{e}) \) positiv arientiert \( \Rightarrow-\vec{e} \quad v \quad " \operatorname{mit}\left(\vec{c}, \overrightarrow{d_{1}}-\vec{e}\right) \) negativ orientief
Text erkannt:
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ t \\ 2 t \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \quad \vec{c}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), \quad \vec{d}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -1 \end{array}\right) . \)
a) Bestimmen Sie alle \( t \in \mathbb{R} \), sodass \( \varphi(\vec{a}, \vec{b})=\frac{2 \pi}{3} \).
b) Überprüfen Sie, für welche \( t \in \mathbb{R} \) die Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) und \( \vec{c} \) in einer Ebene liegen.
c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor \( \vec{e} \), der orthogonal \( \mathrm{zu} \vec{c} \) und \( \vec{d} \) ist und mit welchem das Tripel \( (\vec{c}, \vec{d}, \vec{e}) \) negativ orientiert ist. Bestimmen Sie außerdem den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) aufgespannt wird. \( |\vec{a} \times \vec{b}| \)
