Abbildungsmatrix zu Einheitsvektoren

Question

Kann mir jemand bei Teilaufgabe b) helfen? Ich hab da Probleme mit der Formulierung und weiß nicht so recht wie ich vorgehen soll.

Dankeschön im Voraus

Aufgabe:

Gegeben seien drei Vektoren a₁=(1,0,1) a₂=(1,1,0) und a₃=(0,1,1)

a) Konstruieren Sie aus diesen Vektoren in der angegebenen Reihenfolge eine Orthonormalbasis mit dem Gram-Schmidt-Verfahren.

b) Geben Sie die Matrix A an, die die Einheitsvektoren des ℝ³ auf die in a) bestimmte Orthonormalbasis in der erhaltenen Reihenfolge der Vektoren abbildet.

Comments

Wenn du a) bereits hast könntest du ja die Orthonormalbasis angeben, wenn man die eh unter b braucht oder nicht?

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das wären dann: e₁=(\( \sqrt{2} \)/2), 0, \( \sqrt{2} \)/2)) e₂=(\( \sqrt{6} \)/6, \( \sqrt{6} \)/3, -\( \sqrt{6}\)/6) e₃=(-\( \sqrt{3} \)/3, \( \sqrt{3} \)/3, \( \sqrt{3} \)/3)

Answer 1

Aloha :)

Du hast es zwar nicht verraten, aber die Orthonormalbasis ist:

$$\vec e_1=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\sqrt2\\0\\\sqrt2\end{array}\right)\quad;\quad\vec e_2=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{c}\sqrt6\\2\sqrt6\\-\sqrt6\end{array}\right)\quad;\quad\vec e_3=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-\sqrt3\\\sqrt3\\\sqrt3\end{array}\right)$$Die gesuchte Transformationsmatrix ist:

$$A=\left(\begin{array}{c}\sqrt2/2 & \sqrt6/6 & -\sqrt3/3\\0 & \sqrt6/3 & \sqrt3/3\\\sqrt2/2 & -\sqrt6/6 & \sqrt3/3\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}\sqrt2/2 & 0 & \sqrt2/2\\\sqrt6/6 & \sqrt6/3 & -\sqrt6/6\\-\sqrt3/3 & \sqrt3/3 & \sqrt3/3\end{array}\right)$$

Comments

Dankeschön,

Heißt das, dass ich in diesem Fall immer die inverse Matrix nehm?

Und hättest du vlt eine Artikel wo ich mir dazu noch was durchlesen kann?

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Wenn du die neuen Basisvektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix einträgst, bekommst du die Transformationsmatrix von den neuen Basisvektoren in das alte Basissystem. Die inverse Matrix transformiert daher von dem alten Basissystem in das neue.