Berechnung der Koordinaten bzw. Komponenten der Einheitsvektoren bezügl. Basis v1,v2,v3

Question

                                                                        
Gegeben sind folgende Vektoren:  
                                                                        1
                                                               V₁ = 1
                                                                        1
                                                                     
                                                                        1
                                                               V₂ = 2
                                                                        3

                                                                        1
                                                               V₃ = 3
                                                                        x
                                                                        
Nun soll für x= 4 bzw. 6 gelten und die Komponenten bzw. Koordinaten der Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃  bezüglich der Basis V₁ , V₂,  V₃ bestimmt werden.

Comments

Darst: fett: Vektoren. Rest reelle Zahlen.

Ansatz

av1 + bv2 + cv3 = (1,0,0)          |also e1

(a,b,c) sind die gesuchten Koordinaten, resp. Komponenten.

Dann dasselbe für 

av1 + bv2 + cv3 = (0,1,0)          |also e1

und

av1 + bv2 + cv3 = (0,0,1)          |also e3

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Vielen Dank,
ich habe noch eine kleine Frage und zwar soll jetzt der Unterraum [v₁,v₂,v₃] für x=5 bzw. x=6  für die oben stehenden  Vektoren  bestimmt werden, sowie alle Linearkombinationen der Vektoren die den Nullvektor als Ergebnis haben.

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Ich lese  'für x= 4 bzw. 6' als zwei unabhängige Teilaufgaben und würde erst mal mit x=4 und dann nochmals mit x=6 rechnen.

Answer 1

Ich bestimme die Inverse mit dem Gauss Verfahren.

[1, 1, 1, 1, 0, 0]
[1, 2, 3, 0, 1, 0]
[1, 3, x, 0, 0, 1]

II - I, III - I

[1, 1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 2, -1, 1, 0]
[0, 2, x - 1, -1, 0, 1]

III - 2*I

[1, 1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 2, -1, 1, 0]
[0, 0, x - 5, 1, -2, 1]

I - II, (x - 5)*II - 2*III

[1, 0, -1, 2, -1, 0]
[0, x - 5, 0, 3 - x, x - 1, -2]
[0, 0, x - 5, 1, -2, 1]

(x - 5)*I + III

[x - 5, 0, 0, 2·x - 9, 3 - x, 1]
[0, x - 5, 0, 3 - x, x - 1, -2]
[0, 0, x - 5, 1, -2, 1]

normieren.

[1, 0, 0, (2·x - 9)/(x - 5), (3 - x)/(x - 5), 1/(x - 5)]
[0, 1, 0, (3 - x)/(x - 5), (x - 1)/(x - 5), 2/(5 - x)]
[0, 0, 1, 1/(x - 5), 2/(5 - x), 1/(x - 5)]

Wenn ich mich jetzt nicht verrechnet habe, kann ich für x geforderte Werte einsetzen und habe mit der Inversen die Linearkombinationen, die die Einheitsvektoren ergeben.