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Wie lautet die Darstellung der Abbildungsmatrix, die im R2-Standard-Koordinatensystem die Darstellung

\( A=\left(\begin{array}{cc}{-7} & {-9} \\ {5} & {-6}\end{array}\right) \) hat, im Koordinatensystem mit den Einheitsvektoeren \( \vec{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {2}\end{array}\right) | \) und
\( \vec{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {-2}\end{array}\right) | ? \)
(symbolische Eingabe mit Brüchen/Nurzeln (z.B. \( \left.-3 / \operatorname{sqrt}(24)^{n}\right) \)
\( A^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}{a_{11}^{\prime}} & {a_{12}^{\prime}} \\ {a_{21}^{\prime}} & {a_{22}^{\prime}}\end{array}\right) \)

für

11 erhält man -36/8
12 erhält man -60/8
21 erhält man 52/8
22 erhält man -68/8

Meine Frage lautet: Wie kommt man auf die a´Werte?

Avatar von

Ist es bei euch nicht üblich Brüche (wie -36/8 ) zu kürzen und Wurzeln (wie sqrt(24)) zu vereinfachen?  

Die Werte werden von einer Software ausgegeben. Ich habe jetzt einfach copy & paste genutzt. Aber hier nochmal gekürzt:

11 erhält man -9/2
12 erhält man -3/4
21 erhält man 13/2
22 erhält man -17/2

Verstehe ich die Fragestellung richtig? 

Gegeben ist A bezüglich der Standardbasis und 

gesucht ist A' bezüglich der angegebenen Basis mit e1 und e2.

Ja. Als Hauptthema zur Aufgabe ist die Koordinatentransformation im R2 genannt. 

Ich habe hier nochmal meine Mitschrift von der Vorlesung.
Ich werde aber daraus nicht schlau :-( bzw. bekomme ich mit den Infos nicht heraus, wie ich A´ berechnen soll.

03 Mat2 Mitschrift.pdf (2,1 MB)

1 Antwort

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Hallo Martin

$$ \begin{pmatrix}-7 &-9 \\5  &-6  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7x-9y \\ 5x-6y\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7x-9y\\5x-6y\end{pmatrix}\\f(\vec{e_1}) = \\ f\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}} - 9\cdot \frac{2}{\sqrt{8}}  \\ 5\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}-6\cdot \frac{2}{\sqrt{8}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sqrt{2}  \\ -\frac{11}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = a'_{11} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} +a'_{21} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} \\f(\vec{e_2}) = \\ f\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}} - 9\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}  \\ 5\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}-6\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = a'_{1,2}\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} +a'_{22} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} \\\Rightarrow a_{1,1}=-\frac{9}{2}, \ a_{1,2}=-\frac{15}{2}, \ a_{2,1}=\frac{13}{2}, \ a_{2,2}=-\frac{17}{2}, \ $$

Grüße

Avatar von 11 k

Sorry, den letzten Schritt konnte ich doch noch nicht ganz nachvollziehen.

Z.B. bei a1,1: wie kommt man dort von -√2 auf das letztendliche Ergebnis von -9/2 ?

Jetzt habe ich es verstanden. Gleichungssystem einfach lösen. Dann nutze ich die letzten Zeilen nochmal, um einen großen Dank auszusprechen. Ihr macht mir das Mathematikleben etwas weniger grausam ;-)

Sehr gern! :-)                                  

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