Darstellung Matrix mit Einheitsvektoren

Question

Wie lautet die Darstellung der Abbildungsmatrix, die im R2-Standard-Koordinatensystem die Darstellung

\( A=\left(\begin{array}{cc}{-7} & {-9} \\ {5} & {-6}\end{array}\right) \) hat, im Koordinatensystem mit den Einheitsvektoeren \( \vec{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {2}\end{array}\right) | \) und
\( \vec{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{8}}\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {-2}\end{array}\right) | ? \)
(symbolische Eingabe mit Brüchen/Nurzeln (z.B. \( \left.-3 / \operatorname{sqrt}(24)^{n}\right) \)
\( A^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}{a_{11}^{\prime}} & {a_{12}^{\prime}} \\ {a_{21}^{\prime}} & {a_{22}^{\prime}}\end{array}\right) \)

für

a´₁₁ erhält man -36/8
a´₁₂ erhält man -60/8
a´₂₁ erhält man 52/8
a´₂₂ erhält man -68/8

Meine Frage lautet: Wie kommt man auf die a´Werte?

Comments

Ist es bei euch nicht üblich Brüche (wie -36/8 ) zu kürzen und Wurzeln (wie sqrt(24)) zu vereinfachen?

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Die Werte werden von einer Software ausgegeben. Ich habe jetzt einfach copy & paste genutzt. Aber hier nochmal gekürzt:

a´₁₁ erhält man -9/2
a´₁₂ erhält man -3/4
a´₂₁ erhält man 13/2
a´₂₂ erhält man -17/2

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Verstehe ich die Fragestellung richtig?

Gegeben ist A bezüglich der Standardbasis und

gesucht ist A' bezüglich der angegebenen Basis mit e1 und e2.

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Ja. Als Hauptthema zur Aufgabe ist die Koordinatentransformation im R2 genannt.

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Ich habe hier nochmal meine Mitschrift von der Vorlesung.
Ich werde aber daraus nicht schlau :-( bzw. bekomme ich mit den Infos nicht heraus, wie ich A´ berechnen soll.

03 Mat2 Mitschrift.pdf (2,1 MB)

Answer 1

Hallo Martin

$$ \begin{pmatrix}-7 &-9 \\5  &-6  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-7x-9y \\ 5x-6y\end{pmatrix}\\f\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7x-9y\\5x-6y\end{pmatrix}\\f(\vec{e_1}) = \\ f\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}} - 9\cdot \frac{2}{\sqrt{8}}  \\ 5\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}-6\cdot \frac{2}{\sqrt{8}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sqrt{2}  \\ -\frac{11}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = a'_{11} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} +a'_{21} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} \\f(\vec{e_2}) = \\ f\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}} - 9\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}  \\ 5\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}-6\cdot \frac{-2}{\sqrt{8}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\sqrt{2}\\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = a'_{1,2}\begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} +a'_{22} \begin{pmatrix}\frac{-2}{\sqrt{8}} \\\frac{-2}{\sqrt{8}} \end{pmatrix} \\\Rightarrow a_{1,1}=-\frac{9}{2}, \ a_{1,2}=-\frac{15}{2}, \ a_{2,1}=\frac{13}{2}, \ a_{2,2}=-\frac{17}{2}, \ $$

Grüße

Comments

Sorry, den letzten Schritt konnte ich doch noch nicht ganz nachvollziehen.

Z.B. bei a1,1: wie kommt man dort von -√2 auf das letztendliche Ergebnis von -9/2 ?

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Jetzt habe ich es verstanden. Gleichungssystem einfach lösen. Dann nutze ich die letzten Zeilen nochmal, um einen großen Dank auszusprechen. Ihr macht mir das Mathematikleben etwas weniger grausam ;-)

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Sehr gern! :-)