Das ist meine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten besorgt
wäre hilfreich zu wissen, wo genau diese Schwierigkeit liegt ... Da ist also die Zahl \(a\) und daraus soll die Wurzel gezogen werden. Das Ergebnis wäre \(\sqrt{a}=x\). Das quadriert man zu \(a = x^2\) und zieht auf jeder Seite \(a\) ab \(0 = x^2-a\). Man bekommt also einen Term \(x^2-a\), der zu \(0\) wird, wenn man für \(x\) das richtige Ergebnis einsetzt. Da das Newton-Verfahren aber ein Näherungsverfahren ist, müssen wir damit rechnen, dass dort nicht \(0\) sondern etwas anderes heraus kommt. Was raus kommt ist
$$f(x) = x^2 -a $$ das Ziel ist es nun, das \(x\) so zu variieren, dass \(f(x)\) zu \(0\) wird, oder wenigstens fast \(0\). Die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren lautet:
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
wobei \(f'(x_n)\) die Ableitung von \(f(x)\) an der Stelle \(x=x_n\) ist. Warum lautet die Formel so?
~plot~ x^2-5;6(x-3)+4;{3|4};[[-2|6|-6|10]];{3|0};{7/3|0} ~plot~
oben siehst Du die Funktion \(f(x)=x^2-5\) (blau). Wir beginnen als Schätzwert mit \(x_1=3\). Dort hat die Funktion den Wert \(f(3)=3^2-5=4\). In diesem Punkt legen wir eine Tangente an die Kurve und berechnen den Schnittpunkt dieser Tangente mit der X-Achse. Wenn Du Dir das Steigungsdreieck anschaust, was aus den drei markierten Punkten gebildet wird, so gilt:
$$f'(x_1) = \frac{f(x_1)}{x_1-x_2}$$ formst Du diese Gleichung nach \(x_2\) um, so erhältst Du die obigen Formel für das Newtonverfahren.
Bleibt noch, die konkrete Ableitung in unserem Fall zu berechnen. Das ist
$$f'(x) = 2x$$ Einsetzen in die Newton-Formel gibt: $$\begin{aligned}x_{n+1} &= x_n - \frac{x_n^2 - a}{2x_n } \\ &= x_n - \frac{x_n^2}{2x_n} + \frac{a}{2x_n} \\ &= x_n - \frac{x_n}{2} + \frac{a}{2x_n} \\ &=\frac{x_n}{2} + \frac{a}{2x_n} = \frac12 \left( x_n + \frac{a}{x_n}\right) \end{aligned}$$ was übrigens identisch mit der Heron'schen Formel für das Wurzelziehen ist.
In unseren Beispiel \(x^2-5=0\) wäre das \(x_2\):
$$x_2 = \frac12 \left( 3 + \frac{5}{3}\right) = \frac73$$
und \(f(7/3)= 49/9-5 = 4/9\) D.h. die Abweichung bis zur \(0\) ist nur noch \(4/9\) statt \(f(x_1=3)=4\). Und im nächsten Schritt $$x_3 = \frac12\left( \frac73 + \frac{5 \cdot 3}{7} \right) = \frac{47}{21}$$ Die Abweichung beträgt dann nur noch \(f(47/21) = 4/441\); also weniger als \(0,01\).
Tipp: Wissensartikel 'https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren'
Gruß Werner
