Newtonverfahren anwenden.

Question

Hallo:)

Das ist meine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten besorgt :

Benutzen sie das Newtonverfahren, um die Wurzel aus einer beliebigen Zahl a zu ziehen.

1. Die Wurzel aus a ist eine Nullstelle der Gleichung x² - a=0
2. Zeigen Sie, dass das Newtonverfahren zu folgender Rekursionsformel führt:

x_n+1= 1/2 * (x_n + (a/x_n))

und noch einen schönen Abend !

Answer 1

Das ist meine Aufgabe, die mir Schwierigkeiten besorgt

wäre hilfreich zu wissen, wo genau diese Schwierigkeit liegt ... Da ist also die Zahl $a$ und daraus soll die Wurzel gezogen werden. Das Ergebnis wäre $\sqrt{a}=x$. Das quadriert man zu $a = x^2$ und zieht auf jeder Seite $a$ ab $0 = x^2-a$. Man bekommt also einen Term $x^2-a$, der zu $0$ wird, wenn man für $x$ das richtige Ergebnis einsetzt. Da das Newton-Verfahren aber ein Näherungsverfahren ist, müssen wir damit rechnen, dass dort nicht $0$ sondern etwas anderes heraus kommt. Was raus kommt ist

$$f(x) = x^2 -a$$ das Ziel ist es nun, das $x$ so zu variieren, dass $f(x)$ zu $0$ wird, oder wenigstens fast $0$. Die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren lautet:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

wobei $f'(x_n)$ die Ableitung von $f(x)$ an der Stelle $x=x_n$ ist. Warum lautet die Formel so?

Plotlux öffnen

f₁(x) = x²-5f₂(x) = 6(x-3)+4P(3|4)Zoom: x(-2…6) y(-6…10)P(3|0)P(7/3|0)

oben siehst Du die Funktion $f(x)=x^2-5$ (blau). Wir beginnen als Schätzwert mit $x_1=3$. Dort hat die Funktion den Wert $f(3)=3^2-5=4$. In diesem Punkt legen wir eine Tangente an die Kurve und berechnen den Schnittpunkt dieser Tangente mit der X-Achse. Wenn Du Dir das Steigungsdreieck anschaust, was aus den drei markierten Punkten gebildet wird, so gilt:

$$f'(x_1) = \frac{f(x_1)}{x_1-x_2}$$ formst Du diese Gleichung nach $x_2$ um, so erhältst Du die obigen Formel für das Newtonverfahren.

Bleibt noch, die konkrete Ableitung in unserem Fall zu berechnen. Das ist

$$f'(x) = 2x$$ Einsetzen in die Newton-Formel gibt: $$\begin{aligned}x_{n+1} &= x_n - \frac{x_n^2 - a}{2x_n } \\ &= x_n - \frac{x_n^2}{2x_n} + \frac{a}{2x_n} \\ &= x_n - \frac{x_n}{2} + \frac{a}{2x_n} \\ &=\frac{x_n}{2} + \frac{a}{2x_n} = \frac12 \left( x_n + \frac{a}{x_n}\right) \end{aligned}$$ was übrigens identisch mit der Heron'schen Formel für das Wurzelziehen ist.

In unseren Beispiel $x^2-5=0$ wäre das $x_2$:

$$x_2 = \frac12 \left( 3 + \frac{5}{3}\right) = \frac73$$

und $f(7/3)= 49/9-5 = 4/9$ D.h. die Abweichung bis zur $0$ ist nur noch $4/9$ statt $f(x_1=3)=4$. Und im nächsten Schritt $$x_3 = \frac12\left( \frac73 + \frac{5 \cdot 3}{7} \right) = \frac{47}{21}$$ Die Abweichung beträgt dann nur noch $f(47/21) = 4/441$; also weniger als $0,01$.

Tipp: Wissensartikel 'https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren'

Gruß Werner

Answer 2

du musst deine Gleichung in die Näherungsformel von Newton einsetzen.

f wäre bei dir

$$f(x)=x^2-a$$

Mit der Näherungsformel

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

(von Newton) kommst du dann auf den obigen Ausdruck.

Answer 3

f(x) = x² - a

f'(x) = 2·x

Gegeben ist also eine Tangente an der Stelle x von der man die Nullstelle sucht.

f'(x) * (xneu - x) + f(x) = 0

f'(x) * (xneu - x) = - f(x)

xneu - x = - f(x) / f'(x)

xneu = x - f(x) / f'(x)

Setzten wir die Funktion ein

xneu = x - (x² - a) / (2·x) = 1/2·(x + a/x)