Zeigen Sie, dass die Komposition die identische Abbildung liefert.

Question

Ich habe folgende Frage:

Sei φ ∈ (0°,360°) und g die Gerade durch Z ∈ ℝ², die mit der x-Achse den Winkel φ/2 einschließt. Die Spiegelung an g ist die Abbildung σ_g : ℝ²  → ℝ², σ_g(x) = S_φx - S_φz + z, mit Spiegelmatrix S_φ = $$ \begin{pmatrix} cos(φ) & sin(φ) \\ sin(φ) & -cos(φ) \end{pmatrix} $$ .

Zeigen Sie, dass die Komposition von σ_g die identische Abbildung id: ℝ² → ℝ² mit id(x) = x liefert, d.h. σ_g ◦ σ_g = id.

Answer 1

ist doch eigentlich ganz einfach. Nur einsetzen: $$ \begin{aligned} \sigma_g \circ \sigma_g \rightarrow \\ \sigma_g( \sigma_g(x) ) &= S_{\varphi} \left( S_{\varphi} x - S_{\varphi} z + z \right) - S_{\varphi} z + z  \\ &= S_{\varphi}^2 x - S_{\varphi}^2z + S_{\varphi}z - S_{\varphi}z + z \\ &= S_{\varphi}^2 x - S_{\varphi}^2z + z \\ &= x - z + z \\ &= x\end{aligned}$$

Weil \(S_{\varphi}^2 = I\) (die Einheitsmatrix) ist!