euklidische Transformation

Question

und zwar habe ich folgende Aufgabe:

Gegeben seien die euklidischen Transformationen

t₁ : ℝ² →ℝ² , t₁ (x)= $$ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ x + $$\begin{pmatrix} 3\\3 \end{pmatrix}$$ und

t₂ :ℝ² →ℝ², t₂ (x) = $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ x+ $$\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$$ 
 
Überprüfen Sie, dass t₂ eine euklidische Transformation ist. Geben Sie (mit Begründung) den Typ (Verschiebung, Drehung oder Spiegelung) der euklidischen Transformation an.

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Comments

Spiegelungen sind lt. Wiki keine (eigentliche) Euklidischen Transformationen. Bei \(t_2\) handelt es sich um eine Komposition von Spiegelung und Verschiebung

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danke für das schnelle Kommentar! aber wie kommen Sie darauf, dass es sich um eine Komposition von Spiegelung und Verschiebung handelt?

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Die Matrix in \(t_2\) sollte Dir bekannt vorkommen. Siehe meine Antwort auf eine Deiner letzten Fragen. Und die Addition eines konstanten Vektors ist immer eine Verschiebung.

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... ich muss mich korrigieren: da die Verschiebung senkrecht zur spiegelnden Geraden (der Winkelhalbierenden im 1.Quadranten) verläuft, bleibt eine reine Spiegelung übrig. Die Spiegelachse verläuft parallel zur Winkelhalbierenden durch den Punkt \(\begin{pmatrix} 0 & 1\end{pmatrix}^T\).

Es ist am besten, Du zeichnest Dir das mal auf!

Answer 1

Hallo

 ich nehm mal an das soll die Form x-> Ax+b haben, A die Matrix, b) der Vektor.

die erste Matrix bildet die Standardbasisvektoren (1,0) auf (0,-1) ab, (0,1)auf (-1,0) wenn du das aufzeichnest, siehst du , dass es eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 2 ten und 4 ten Quadranten ist, b verschiebt danach eben um b.

zeichne ebenso das Bild der 2 Basisvektoren für die zweite Matrix, da die det=-1 muss es ja auch eine Spiegelung sein!