Mächtigkeit der Vereinigungsmenge aus einer anderen beweisen

Question

|A vereinigt B| = |A| + |B| - |A geschnitten B|

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                <p><strong>Vom Duplikat:</strong></p>
                <p>Titel: Seien A,B endliche Mengen: Beweise, dass ∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ∩ B ∣ gilt.</p>
                <p>Stichworte: mengen,mengenlehre,bijektiv,mächtigkeit,schnittmenge</p>
            seien A,B endliche Mengen:

Beweisen sie dass ∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣ gilt.

Hinweis Begründen sie die Formel zunächst in dem Fall  A ∩ B = ∅ in dem sie wie von der Definition gefordert eine geeignete Bijektion direkt angeben.

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Langt dort nicht einfach das zeichnen eines Venn-Diagramms.

Wenn ich alle Elemente in den Vereinigung zählen will, zähle ich die Elemente von A und die Elemente von B zusammen. Jetzt habe ich die Elemente der Schnittmenge doppelt gezählt und muss sie daher einmal subtrahieren.

∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣

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Bitte übernehmen Sie nicht die Aufgabenstellung wörtlich vom Übungsblatt, wenn Sie schon Ihre Übungsaufgaben nicht selbständig bearbeiten.

Nein, ein Venn-Diagramm reicht nicht, es ist eine Bijektion anzugeben.

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bijektion angeben mit hilfe des cantor-bernstein theorems?

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Vom Duplikat:

Titel: Seien A, B endliche Mengen. Beweisen Sie ∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣

Stichworte: mächtigkeit,bijektiv,mengenlehre,schnittmenge

Seien A, B endliche Mengen. Beweisen Sie, dass ∣A ∪ B∣ = ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣ gilt. Hinweis. 

Begründen Sie die Formel zunächst in dem Fall A ∩ B = ∅, indem Sie wie von der Definition gefordert eine geeignete Bijektion direkt angeben. 

Um eine gleichmächtigkeit zu zeigen, muss man ja eine geeignete Bijektion angeben.

Im ersten Schritt habe ich mir gedacht, da man zuerst annehmen soll, dass A ∩ B = ∅

einfach es gibt eine Bijektion von (A ∪ B) auf (A xor B) da es ja keine schnittmenge gibt.

f:(A ∪ B) → (A xor B): x ↦ x

Jetzt stehe ich aber auf dem Schlauch, jetzt wenn ich annehmen möchte, dass A ∩ B ≠ ∅

weiß ich nicht wie ich ∣A∣ + ∣B∣ − ∣A ∩ B∣ als Menge aufschreiben soll

f:(A ∪ B) →  ???

Ist denn überhaupt mein Ansatz richtig, oder renn ich total in die falsche Richtung?

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Um eine gleichmächtigkeit zu zeigen, muss man ja eine geeignete Bijektion angeben.

Hier geht es mehr um Abzaehlen: |M| = Anzahl der Elemente von M. In der Aufgabe soll A ∪ B auf andere Weise abgezaehlt werden.

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Und wenn es ganz supertechnisch  werden soll, haette man gerne die Definition von |M| angegeben. |M| = Anzahl der Elemente von M ist dem Hinweis nach wohl zu primitiv?

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Ich verstehe nicht, worauf der User Fakename hinaus will.

Muss es nicht einfach heißen:

f:|A ∪ B| → |A| + |B|: x ↦ x

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Womoeglich ist es so gedacht: |M| = n :⇔ Es gibt eine Bijektion von M nach {1, 2, ..., n}.

Zu zeigen waere dann im ersten Schritt, wenn |A| = m, |B| = n und A, B disjunkt: Es gibt eine Bijektion von A ∪ B nach {1, 2, ..., m+n}.

Wer es genau wissen will, schlage gefaelligst die Definition von |M| in seinen Unterlagen nach.

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Danke für Deine Antwort!

Aber warum ist es denn eine Bijektion f:A ∪ B → {1, 2, ..., m+n}: x ↦ x mit |A| = m, |B| = n? Müsste es nicht von |A ∪ B| nach {1, 2, ..., m+n} sein?

Die Definition der Mächtigkeit ist mir schon klar. Ich muss zeigen, dass eine Bijektion zwischen den beiden Mengen besteht, für die ich zeigen möchte, dass sie gleichmächtig sind. Das wiederum lässt sich über den Nachweis der Injektivität und  Surjektivität der Abbildung erreichen. Aber zunächst einmal muss ich dazu wissen, was überhaupt die gesuchte Abbildung ist.

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|M| ist eine natuerliche Zahl, die Anzahl der Elemente von M, und keine Menge. Hast Du die exakte Definition von |M| jetzt immer noch nicht aus Deinen Unterlagen gefischt?

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Auch eine natürliche Zahl ist eine Menge.

Hier nochmal die exakte Definition: Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion von A auf B gibt.

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Dir ist nicht zu helfen. Mach was Du willst.

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Verwechsel keinen Kartoffelsack mit einer Kartoffel.

Ein Kartoffelsack ist ein Aufbewahrungsort für Kartoffeln. Eine Kartoffel kann ein Element des Sackes sein.

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Ja, ok. Dem kann ich folgen. ;)

Hier nochmal die Wikipedia-Definition:

Eine Menge A heißt gleichmächtig (bei Cantor: äquivalent) zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion f : A → B gibt. Man schreibt dann | A | = | B |.

Was mich bei der Abbildung f:A ∪ B → {1, 2, ..., m+n} mit |A| = m, |B| = n irritiert, ist, dass die Elemente der Zielmenge eine Menge möglicher Mächtigkeiten von A ∪ B darstellt (also natürliche Zahlen).

Müsste es nicht eher etwas sein wie: f:A ∪ B → {x₁, x₂, ..., x_m+n} mit |A| = m, |B| = n?

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Uebungsaufgaben sind mit den Definitionen aus der Vorlesung zu loesen, nicht mit Wikipedia. Zumal sich aus der zitierten Wikipediadefinition nicht mal ergibt, was |A| + |B| ueberhaupt sein soll.

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Die Definitionen aus den Vorlesungen sind meistens total schlecht.

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Dazu fallen mir zwei Antworten ein:

- Sie moegen so schlecht sein, wie sie wollen. Sie sind die einzig relevanten. (Wenn Du Punkte für Deine Lösungen willst. Interessiert Dich etwa was anderes?)

- Wer trotzdem meint, bei Wikipedia gucken zu muessen, sollte wenigstens mit Verstand etwas passendes  auswaehlen:

Formally, a set S is called finite if there exists a bijection

for some natural number n. The number n is the set's cardinality, denoted as |S|. The empty set {} or Ø is considered finite, with cardinality zero.

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Vom Duplikat:

Titel: Mächtigkeit von Mengen: Beweis von #A∪B = #A + #B − #A∩B

Stichworte: beweis,mächtigkeit,menge,vereinigung

ich bräuchte mal Hilfe bei einem kleinen Beweis, da ich mich immer vor dem Thema gescheut habe.

Aufgabe:

Im Folgenden bezeichne #A die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge A.

Zeigen Sie, dass für endliche Mengen A, B Folgenes gilt:

#A∪B = #A + #B − #A∩B

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Vgl. https://www.mathelounge.de/555532/machtigkeit-der-vereinigungsmenge-einer-anderen-beweisen?show=555551#a555551

Answer 1

Für ein Element aus   A ∪ B gilt genau einer der drei Fälle:

Es liegt in  A \ (A∩B)   oder in  B \ (A∩B)    oder in  A∩B.

Also ist die Mächtigkeit von   A ∪ B gleich der Summe der

Mächtigkeiten dieser 3 Mengen.

Da  A∩B eine Teilmenge von A ist, ist die Mächtigkeit dieser

Menge   |A| - | A∩B |.  Ebenso ist     A \ (A∩B)  |    =   | B | - | A∩B |.

Also gilt

|  A ∪ B | =    |A| - | A∩B |  +    |B| - | A∩B |  + | A∩B |

              =    |A| +    |B| - | A∩B |.

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Danke :) deine Antwort war sehr hilfreich ubd schnell :)