was ist der Kritischer Wert Hypothesentest bei unbekannter Varianz (vergleich der Erwartungswerte)

Question

Auf zwei Maschinen A und B wird Tee abgepackt. Auf Stichprobenbasis soll nach-
gewiesen werden, dass die Maschine A mit einem größeren durchschnittlichen Füll-
gewicht arbeitet als die Maschine B (α = 0.01).
a) Man weiß, dass die Füllgewichte der beiden Maschinen annähernd normalver-
teilt sind mit σ^2A = 49g und

σ^2B = 25g. Eine Zufallsstichprobe vom Umfang
nA = 12 aus der Produktion der Maschine A liefert ein durchschnittliches
Füllgewicht von xA = 140g. Eine Zufallsstichprobe aus der Produktion der
Maschine B vom Umfang nB = 10 ergibt ein durchschnittliches Füllgewicht
vonxA = 132g. Führen Sie einen geeigneten Test durch.
b) Die Varianzen seien nun unbekannt, aber man kann davon ausgehen, dass sie
gleich sind. Man erhält als Schätzungen der Standardabweichungen sA = 5
und sB = 4.5. Führen Sie mit den Resultaten aus a) einen geeigneten Test
durch.

es geht mir speziell um b)

undzwar was der kritischer Wert ist der zur Ablehnung der H0 Hypothese führt.

Answer 1

Der kritische Wert berechnet sich wie folgt

$$ t_0 = \sqrt{ \frac{n_A n_B (n_A+n_B - 2) } {n_A+n_B} } \frac{ \overline{x_A} - \overline{x_B } }  { \sqrt{ (n_A-1) s_A^2 +(n_B-1) s_B^2 } } $$

Gilt \(  t_0 > c  \text{ mit }  P(T\le c ) = 0.99 \) wird die Hypothese verworfen.

Als Verteilung liegt eine t-Verteilung vor.

Für \( t_0 \) ergibt sich \( t_0 = 3.908 \) und für \( c \) ergibt sich \( c = 2.528 \)

Als wird die Hypothese, dass die Mittelwerte gleich sind verworfen und die Alternative \( \overline{x_A} > \overline{x_B}  \) angenommen.