Ausdruck so umformen, damit er passt.

Question

Ich sitze nun schon (ungelogen) 2h vor einem Ausdruck und bekomme ihn nicht umgeformt. Könnt ihr mir bitte damit helfen und mir Tipps und Tricks nennen, damit man so etwas sofort sieht?

Die Aufgabe war eine vollständige Induktion und das Ziel im Induktionsschritt ist es, von dieser Gleichung:

(6*(n+1)^2 + n*(n+1)*(2n+1))/6   auf diese hier zu kommen ((n+1)*(n+2)*(2n+3))/6

Klar, mann kann (n+1) sofort ausklammern:

((n+1)*(6*(n+1) + n*(2n+1))/6

Nun verzweifle ich allerdings total.

Das Ziel soll es sein, ohne komplettes auflösen der Klammern dieses Problem zu lösen. 
Und es sollte zackig gehen:)

Es muss ja Tricks geben, so etwas schnell zu knacken, außer jahrelange Erfahrung:) Vlt bin ich auch gerade nur Blind)

LG

Anton

Answer 1

Hallo Anton,

Die Umformung (exklusiv des Faktors \(1/6\)) geht so: $$\begin{aligned} & 6\cdot (n+1)^{2} + n\cdot(n+1)\cdot(2n+1) \\ = \, &(n+1)\left( 6\cdot (n+1) + n\cdot(2n+1)\right) \\ = \, &(n+1)\left( 2n^2 + 7n +6\right) \\ = \, &(n+1)(n+2)\left( 2n + 3\right) \end{aligned}$$ Der 'Trick' besteht darin, Summen und Differenzen zunächst vollständig auszumultiplizieren - also aus $$6\cdot (n+1) + n\cdot(2n+1) \text{ wird: } = 2n^2 + 7n +6$$ Wenn Du anschließend dann nicht schon 'siehst' was es wird, hilt hier die Suche nach den Nullstellen (hier \(n_1\) und \(n_2\)). Aus: $$2n^2 + 7n +6 = 0$$ folgt: $$n_{1,2} = -\frac74 \pm \sqrt{\frac{49}{16} - 3} = -\frac74 \pm \frac14; \quad \Rightarrow n_1=-\frac32; \space n_2 = -2$$ folglich enthält der Term \(2n^2 + 7n +6\) die Faktoren \((x+2)\) und \((x+ 3/2)\).

Comments

Stimmt...

Ach man 2h meines Lebens vergeudet:)

Ich danke dir vielmals !

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Ach man 2h meines Lebens vergeudet:)

Nein! Algebra geübt; sieh es positiv ;-)

Answer 2

(6·(n + 1)^2 + n·(n + 1)·(2·n + 1))/6 = (n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)/6

6·(n + 1)^2 + n·(n + 1)·(2·n + 1) = (n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

6·(n + 1) + n·(2·n + 1) = (n + 2)·(2·n + 3)

6·n + 6 + 2·n^2 + n = 2·n^2 + 3·n + 4·n + 6

2·n^2 + 7·n + 6 = 2·n^2 + 7·n + 6

looks fine

Comments

(6·(n + 1)^2 + n·(n + 1)·(2·n + 1))/6

= 1/6·(n + 1)·(6·(n + 1) + n·(2·n + 1))

= 1/6·(n + 1)·(6·n + 6 + 2·n^2 + n)

= 1/6·(n + 1)·(2·n^2 + 7·n + 6)

= 2/6·(n + 1)·(n^2 + 3.5·n + 3)

Satz von Vieta 3 = 2 * 1.5 ; 3.5 = 2 + 1.5

= 2/6·(n + 1)·(n + 2)·(n + 1.5)

= 1/6·(n + 1)·(n + 2)·(2·n + 3)

Answer 3

  Ein alternatives Verfahren, quadratische Gleichungen  (  QG  )  zu lösen, das ich nicht müde werde zu predigen. Der ===>  Satz von der rationalen nullstelle ( SRN )

   Noch in jener Woche des Jahres 2011 , als ich vom  SRN erfuhr, entdeckte und bewies ich folgenden

      ZERLEGUNGSSATZ

   ======================

    Sei

      a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0        (  1a  )

      ein primitives  quadratisches  Polynom.     In unserem Fall etwa

      a2  =  2  ;  a1  =  7  ;  a0  =  6      (  1b  )

         Seien ferner x1;2  die Wurzeln von  ( 1a )

      x1;2  :=  p1;2  /  q1;2  €  |Q     (  2a  )

        die wir wie üblich als gekürzt voraus setzen. Dann gelten die beiden Habakuk pq-Formeln

      p1  p2  =  a0  =  6      (  2b  )

      q1  q2  =  a2  =  2      (  2c  )

    ===================================================

    Mit  ( 2c ) erwarten wir eine ganz-so wie eine halbzahlige Lösung. Doch wie geht es weiter? Die 6 besitzt die triviale Zrlegung 6 = 1 * 6 so wie 6 = 2 * 3 . Aber schnell wird klar, wie wir die beiden Faktoren zu vrteilenhaben;   so geht etwa   (  3a  ) überhaupt nicht

      (  *  )        x1  =  6/2  ;  x2  =  1       (  3a  )

    weil wir ausdrücklich eine ausgekürzte Darstellung verlangen. Wie in der Sprachlehre habe ich eine nicht existierende Form mit  "  Stern  "  gekennzeichnet.

   Eine weitere Kalamität ist das Vorzeichen, weil ja " Minus Mal Minus "  auch Plus ergibt.  Hierfür gibt es die cartesische Vorzeichenregel

    "  Zwei Mal Minus "

        Es verbleiben noch zwei Alternativen; hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur -  der Vieta p der ( Normalform ) von  ( 1ab )  ; auch ich brauche  also die Normalform. ( Dem aufmerksamen Beobachter wird nicht entgangen sein, dass a1 bisher noch gar nicht berücksichtigt wurde. )

      x  ²  -  p  x  +  q  =  0       (  3b  )

      p  =  (  -  7/2  )  ;  q  =  3      (  3c  )

      p  =  x1  +  x2     (  4a  )

   x1  =  (  -  6  )  ;  x2  =  (  -  1/2  )  ;  p  =  (  -  13/2  )        (  4b  )

  x1  =  (  -  2  )  ;  x2  =  (  -  3/2  )  ;  p  =  (  -  7/2  )        (  4c  )      ;  okay