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Hi :)

 Ich brauche unbedingt Hilfe bei folgender Aufgabe:matheL.jpg

Ich bin bei der a) und verstehe die Lösung nicht. Ich kann nicht nachvollziehen wie die Lösung auf diese Matrix kommt. Also wie sich aus der Basis diese (1,0,0,-1) Matrix ergibt. Und warum genau diese Vorgehensweise funktioniert, also zu einer diagonal Matrix führt.

Würde mich sehr über einer Erklärung freuen :)

Ganz liebe Grüße

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1 Antwort

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  Ich halte das auch für ziemlichen Wirrwarr.  Wie wird die Matrix aussehen?


      P  =  a  b 

               c  d           (  1  )


   Physiker bezeichnen eine Spiegelung als  ===>  Parität  .  Jetzt hast du die Gerade  x1  =  2  x2  ; also ein primitiver Vektor wäre


        e_1  =  (  2  |  1  )       (  2  )


   Ein Vektor in richtung der Spiegelachse hat  doch Eigenwert Eins; ändert sich nicht:


       2  a  +  b  =  2      (  3a  )

      2  c  +  d  =  1     (  3b  )


   Kenntnisse aus der Elementargeometrie;  den Vektor, der auf  ( 2 ) senkrecht steht, bekommst du, indem du a) die Komponenten vertauschst und b) das Vorzeichen umdrehst:


    e_2  =  (  1  |  -  2  )       (  4  )


    e_2  muss Eigenvektor zum Eigenwert Minus Eins sein, weil er ja gespiegelt wird:


       a  -  2  b  =  (  -  1  )      (  5a  )

       c  -  2  d  =  2      (  5b  )


    Unser  LGS  separiert;  als Erstes lösen wir  ( 3a;5a )


        a  =  3/5  ;  b  =  4/5       (  6a  )


      (  3b;5b  )  entsprechend


    c  =  4/5  ;  d  =  (  -  3/5  )     (  6b  )


    und damit


  

       P  =   1/5  (    3        4    ) 

                        (    4    -  3    )         (  7a  )


     folgende  hinreichende Proben: 

    1)  P  muss  ===>  Hermitesch sein  <===>  Die Hauptachsen bilden eine ONB  ( Wir hatten  das ja extra so gemacht, dass sie aufeinander senkrecht stehen )  UND ihre Eigenwerte sind reell.

   2)  Die ===>  Spur als  summe der Eigenwerte muss Null sein. Perfektamente.

   3) Die ===> Determinante als Produkt der Eigenwerte muss Minus Eins sein  ( Achtung; der Vorfaktor 1/5 geht quadratisch in die Determinante ein. )

   Wenn du dich mit  ===>  Paulimatrizen anfreunden könntest ( Jedes bessere QM_Lehrbuch hat das: z.B. ===>  eugen Fi ck / Darmstadt, Rose  " Angular Momentum " oder der Nobelpreis verdächtige ===>  Gordon Baym, ein Vielrechner, vor dessen Berechnungen keine Naturerscheinung sicher ist. )

   ( Der alte über den Wolken ist eben doch routinierter in Matrizen als die Matematikerzunft. )

   also in Paulimatrizen schreibt sich dein  P


     P  =  1/5  (  3  S3  +  4  S1  )     (  7b  )


    Von den Matematikern wirst du das Wesentliche hinter den Paulimatrizen nie kennen lernen;  so bald du den Durchblick hast. es handelt sich um Vektoroperatoren; damit ist folgendes gemeint:

   Sämtliche Paulimatrizen haben Eigenwerte ( +/- 1 )  ( Spin up / Down ) ( und sind damit selber Paritäten. )

   Diese Koeffizienten  3/5 und 4/5  in (  7b  )  verhalten sich wie Kosinus und Sinus; jede Linearkombination


      P_ß  =  S3  cos  (  ß  )  +  S1  sin  (  ß  )      (  7c  )


    ist selber wieder eine Paulimatrix, nämlich die Paulimatrix von Spinkomponente in Richtung  ß  ( mit Eigenwerten +/- 1 )

   worauf ich dich aber jetzt schon hinweise:  Der  ===>  Spinor hat nur den halben   winkel; nennen wir ihn mal vorläufig  µ  .  Dann hast du doch in  (  2  )


    cos  (  µ  )  =  2 / sqr  (  5  )  ;  sin  (  µ  )  =  1 /  sqr  (  5  )    (  8a  )


   Kannst du noch Additionsteoreme?


    cos  (  2  µ  )  =  cos  ²  (  µ  )  -  sin  ²  (  µ  )  =  3/5  =  cos  (  ß  )      (  8b  )


   in Übereinstimmung mit  (  7b  )

   Wenn du dich in Bezug auf Paulimatrizen mal bissele schlau gemacht hast, stell am besten noch weiter gehende Fragen.

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  Oder noch das. Ein Operator ist genau dann eine Parität, wenn er   ===>  unitär und Hermitesch ist. Überlege dir, warum daraus in unserem Falle (  1.7bc  ) folgt


      P  ²  =  1|      (  2.1  )


   gut in Paulimatrizen bist du, wenn du Identität ( 2.1 ) explizit nachrechnen kannst.

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