Berechnen Sie die Integrale, indem Sie den Residuensatz auf die Kreissektorenwege anwenden

Question

HELFEN SIE MIR BITTE!

Berechnen Sie die Integrale der Form

₀^∞∫ x^m−1/(1 + xⁿ) dx, n, m ∈ N, m < n

indem Sie den Residuensatz auf die Kreissektorenwege
{|z| ≤ r, arg z = 0}  ∪ {|z| = r, 0 ≤ arg z ≤ 2π/n} ∪ {|z| ≤ r, arg z = 2π/n }

anwenden und den Grenzübergang  r → ∞ vollziehen. (Die Werte dieser Integrale waren
bereits Euler 1743 bekannt.)

Comments

EDIT: Habe deine Überschrift "HELFEN SIE MIR BITTE!" präzisiert. Vgl. Schreibregeln.

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Hast Du ueberhaupt irgendeine Ahnung vom Thema? Hast Du es schon zur Skizze gebracht und Parametrisierungen der Teilwege gefunden? Die Residuen berechnet und rausgefunden, welches relevant ist? Etc.

"HELFEN SIE MIR BITTE!" ist sehr wenig aussagekraeftig.

Euler hat uebrigens $$\int_0^\infty\frac{x^{m-1}}{1+x^n}\,dx=\frac{\pi}{n}\left(\sin\frac{m}{n}\pi\right)^{-1}$$

angegeben. Habe ich zusammen mit der ganzen Aufgabe in Remmerts Funktionentheorie 1 im Kapitel 14 als vorgerechnetes Beispiel gefunden.