Nullstelle bei Polynom 3. Grades

Question

\( f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{2}-x+1}{x+1} \)

Ich muss zum Zähler dieser Funktion die Nullstellen bestimmen, allerdings weiß ich nicht wirklich, wie ich das machen soll. Wir haben gelernt, dass man bei Polynomen 3. Grades eine Nullstelle raten muss, um dann eine Polynomdivision durchzuführen.

Allerdings hat diese Funktion nur eine Nullstelle bei ca. -3,38 (weiß ich aus der Skizze des Graphen, bzw. Berechnung der Nullstelle im Internet). - Ich weiß jedoch nicht, wie man diese Nullstelle errechnen kann?

Ich habe etwas von einem Newton Verfahren gehört, allerdings weiß ich nicht, wie das funktioniert?

Comments

Guckst Du bitte einmal hier:
https://www.mathelounge.de/49035/mathe-artikel-das-newtonverfahren

Hier ist das Newton-Verfahren hervorragend erklärt :-)

Answer 1

Für das Newtonverfahren braucht man die Funktion und die erste Ableitung der Funktion. Ich weiß allerdings nicht ob ihr schon Ableitungen behandelt habt.

f(x) = x^3 + 3x^2 - x + 1
f'(x) = 3x^2 + 6x - 1

Dann lautet das Newtonverfahren

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n) = x_n - (x_n^3 + 3x_n^2 - x_n + 1)/(3x_n^2 + 6x_n - 1)

Hier setzt du auf der rechten Seite eine erste Näherung ein und erhältst dann eine weitere bessere Näherung. Ich fange mal mit -3 als erste Näherung an.

x0 = -3
x1 = -3.5
x2 = -3.3898
x3 = -3.3830
x3 = -3.3830

Das langt mir jetzt als Nullstelle.