Reelle Werte Lambda bestimmen durch die Matrix mit nichttrivialen Lösungen

Question

Hallo Mathe-Freunde,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Das Gauß-Verfahren und Gauß-Jordan-Verfahren kann ich schon. Eine homogene Gleichung kenne ich auch: Die rechte Seite ist immer gleich 0. Aber was ist mit nichttrivialen Lösungen gemeint?? Welche Schritte muss ich machen, um diese Aufgabe zu lösen. Möchte sie gerne selbst lösen.

Comments

Aber was ist mit nichttrivialen Lösungen gemeint??

0 ist die triviale Lösung jedes homogenen LGS. Lösungen ≠ 0 sind nichtriviale Lösungen.

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Das heißt also, dass ich Zahlen berechnen soll, die z.B. für x₁ x₂ und x₃ eingesetzt werden können und die Lösung dann nicht 0 sein soll?

Die Variablen können natürlich auch x, y, z heißen.

Bloß wie mache ich das? Welche Schritte muss ich jetzt machen? Wie beginne ich?

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Gesucht sind Lösungen \((x_1,x_2,x_3)\ne(0,0,0)\).

Du erwaehnst, dass Du das Gauss-Verfahren kannst. Fang doch damit an. Du kannst Z.B. das \(\lambda/2\)-fache der zweiten Zeile zur dritten addieren und Du hast schon Stufenform (wenn Du anschliessend noch die zweite und die dritte Zeile vertauschst).

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Wenn alle Werte wie hier $$ (x_1,x_2,x_3)\ne(0,0,0) $$ keine 0 sein sollen. Dann ist das doch eine inhomogene Gleichung oder nicht? Warum wird das homogen genannt?

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Da steht nicht, dass alle Lösungskomponenten \(\ne0\) sein sollen. Da steht, dass nicht alle Lösungskomponenten \(=0\) sein sollen.

Und ein homogenes LGS hat rechte Seite gleich Null(vektor). Es ist von der Form \(Ax=0\). Darum ist eben \(x=0\) immer eine Lösung, naemlich die triviale.

Answer 1

Hallo

Hattet ihr den Satz, dass ein LGS nur Lösungen hat wenn die Determinante ≠0 ist, dann ist das hier am schnellsten, sonst eben wieder Gauss.

Gruß lul

Comments

Das hatten wir noch nicht. Kommt aber später.

Habe das mit Gauß gerechnet und folgendes raus:

$$ \begin{pmatrix} (1-\lambda) & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda & 2 \\ 0 & 0& (\frac{4}{\lambda}-\lambda) \end{pmatrix} $$

Was habe ich jetzt davon? Soll ich jetzt x₁, x₂ und x₃ berechnen?

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Deine Matrix ist falsch. Wenn sie richtig waere, wuerde sie den Fall \(\lambda=0\) nicht abdecken. Und Du hast trotz Hinweis nicht gemerkt, dass man nur eine einzige Zeilenumformung machen muss.

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Du kannst Z.B. das λ/2-fache der zweiten Zeile zur dritten addieren und Du hast schon Stufenform (wenn Du anschliessend noch die zweite und die dritte Zeile vertauschst).

Das habe ich gemacht und habe nun das hier raus:
$$ \begin{pmatrix} (1-\lambda) & 0 & 0 \\ (\frac{\lambda}{2}+3) & (-\frac{\lambda^2}{2}+2) & 0 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{pmatrix} $$

Ich wusste gar nicht, dass man das so machen kann.
Wir hatten das bis jetzt so gelernt, dass die Stufenform unterhalb der Hauptdiagonale kommt. Ist das denn so korrekt?

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Das ist doch wurscht, es heisst schliesslich Eliminationsverfahren. Es muss nur sukzessive immer eine Unbekannte mehr verschwinden. Das ist jetzt halt von unten nach oben der Fall. Jetzt versuche, nacheinander \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) auszurechnen. ACHTUNG! GEHIRN EINSCHALTEN!

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So ich will dieses Semester damit fertig und die Prüfung bestehen.

Ich habe jetzt folgendes gemacht:

\begin{pmatrix} (1-\lambda) & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & 2 \\ 3 & 2 & \lambda \end{pmatrix}

dann habe ich das 2/lambda fache der dritten Zeile zur zweiten Zeile addiert.

\begin{pmatrix} (1-\lambda) & 0 & 0 \\ (1+\frac{6}{\lambda}) & (-\lambda+\frac{4}{\lambda}) & 0 \\ 3 & 2 & \lambda \end{pmatrix}

und habe die Stufenform mit den Nullen rausbekommen (siehe oben).

Wenn ich nun den ersten Wert für Lambda ausrechne (erste Zeile), bekomme ich 1 raus.

Aber die die zweite Zeile kann ich nicht berechnen. Habe ich irgendetwas falsch gemacht?

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Hallo

 da du λ=0 nicht ausschließen willst solltest du deine richtige Matrix aus deinem  post eins davor verwenden- mit

(1-λ)*x1=0 hast du a) x1=0 oder b) λ=1 und x1 beliebig. also hast du schon mal ein reelles lambda mit nicht trivialer Lösung,  , damit gehst du in die zweite Zeile, gibt es ein λ so dass du mit x1=0 ein x2≠0 findest?,  weiter in die dritte.

Gruß lul

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Hallo lul,

ich habe das gemacht und habe folgende Werte raus:

λ₁ = 1

λ₂ = √11

λ₃ = konnte ich nicht berechnen

Ist das denn korrekt?

Denn ich hatte so gelernt, dass wir die Stufenform unten links haben. Wenn ich das mache, wie ich es gelernt habe, bekomme ich folgendes:

Was ist denn nun richtig? Kann mir das bitte einer vorrechnen?

Warum kann ich das nicht so machen, dass ich unten links die Stufenform habe? Warum muss ich das so wie in meinem letzten Beitrag machen?

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kann mir hier bitte einer weiterhelfen, damit ich diese Aufgabe abhaken kann?

Komme hier nicht weiter. Siehe letzter Kommentar von mir.

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Für λ≠0 kannst du die 2. Zeile mal  λ und

die 3. Zeile mal 2 nehmen und dann die 3. zur 2. addieren.

Das gibt

1- λ     0         0
λ+6    4- λ^2      0
   3       2      - λ

und jetzt auflösen:

Für  λ=1 ist bx1 beliebig wählbar, es

gibt also nicht triviale Lösungen.

Ansonsten muss x1=0 sein und aus der

2. Gleichung ergibt sich dann

                (4- λ^2)*x2 = 0

und das besitzt für  λ=2 oder  λ=-2 auch nicht triviale

Lösungen.  Wenn also  λ≠1 und   λ≠2 und   λ≠-2  ist

dann gibt die letzte Gleichung  - λ x3 = 0

Das hat für  λ=0 beliebige Lösungen.

Aber Vorsicht: Für  λ=0 galt ja die

Umformung nicht. Der Fall  λ=0 muss also

extra betrachtet werden

1    0    0
1    0     2
3    2     0

Das hat offenbar nur die triviale Lösung.

Also sind die beiden Fälle, die hier gemeint sind

 λ=1 und  λ=4 .

Im ersten Fall ergibt sich die Matrix

   0     0         0
   7       3      0
   3       2      -1

also für x1=t gibt die zweite 7t+3x2=0

                                                    x2 = (-7/3)*t

und damit die 3.

        3t - (14/3)*t = x3

also   x3 = (-5/3)t . Alle Lösungen sehen also so aus:

(  t   ;   (-7/3)*t ; (-5/3)*t ) bzw. alle Vielfachen von (3 ; -7;-5).

Und im Fall λ=2 bestimmst du ähnlich:

Die Lösungen sind   ( 0 ; t ; t )  also die Vielfachen von   ( 0 ; 1 ; 1 )

und bei  λ = -2 sind sie    ( 0 ;- t ; t )  also die Vielfachen von   ( 0 ; - 1 ; 1 )