Jede natürliche Zahl kann bekanntlich eindeutig als Summe nicht aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dargestellt werden, das ist der Satz von Zeckendorf. Zum Beispiel ist \( 42 = 34 + 8 = F_9 + F_6 \) und \( 64 = 55 + 8 + 1 = F_{10} + F_{6} + F_{2} \). Die Folge \( 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, \dots \) enthält genau die Zahlen mit \( F_2 = 1 \) als kleinsten Summanden in ihrer Zeckendorf Darstellung. Bemerkenswert ist, dass das \(n\)-te Folgenglied durch \( \lfloor n \varphi \rfloor \) mit dem goldenen Schnitt \( \displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) gegeben ist.
Gibt es dafür einen elementaren Beweis?
Zum Hintergrund: Ich möchte eine explizite Darstellung des \(n\)-ten Symbols im Fibonacci-Wort beweisen und haben herausgefunden, dass das Symbol vom kleinsten Summanden in der Zeckendorf Darstellung abhängig ist. Falls jemand auf andere Weise zeigen kann, dass \( 2 + \lfloor n \varphi \rfloor - \lfloor (n + 1) \varphi \rfloor \) gleich dem \(n\)-ten Symbol im Fibonacci-Wort ist, bin ich sehr daran interessiert.
