Nutze die Linearität der Summe, so dass du sie Summe in mehrere einzelne Summen aufteilen kannst. Bei b) kannst du zunächst \(\left(x_i-\mu\right)^2\) mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren.
Dabei stößt du gegebenfalls dann auf die Summe \[\sum_{i=1}^{n} x_i,\] was nichts anderes als \(n\cdot\mu\) ist ... \(\sum_{i=1}^{n} x_i = n\cdot \underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i}_{=\mu} = n\cdot \mu\)
Beachte auch, dass für Konstanten \(c\), die nicht vom Summationsindex abhängen gilt: \(\sum_{i=1}^{n} c = \underbrace{c + \dots + c}_{n\text{-mal}} = n\cdot c\)
a)
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\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \mu \right) & = \sum_{i=1}^{n} x_i - \sum_{i=1}^{n} \mu \\ & = n\cdot\underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_i}_{=\mu} - \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \mu}_{=n\cdot\mu} \\ & = n\cdot \mu - n\cdot \mu = 0\end{aligned}\)
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b)
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\(\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n} \left(x_i - \mu \right)^2 & = \sum_{i=1}^{n} \left(x_i^2 - 2 \cdot x_i \cdot \mu + \mu^2 \right) \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} \mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot n\cdot \underbrace{\frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^{n} x_i}_{=\mu} + \underbrace{\sum_{i=1}^{n} \mu^2}_{=n\cdot \mu^2} \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot \mu\cdot n\cdot \mu + n\cdot\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - 2\cdot n\cdot \mu^2 + n\cdot\mu^2 \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\cdot\mu^2 \end{aligned}\)
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