Quotient aus zwei komplexen Zahlen

Question

ich soll den Quotienten aus w = 4e^{pi*i/2} und z = 3e^{pi*i/6} berechnen. Dabei komme ich auf folgendes: 4/3 für den Betrag und pi/2 - pi/6 für das Argument. Zusammengesetzt erhalte ich dann 4/3e^{pi*i/3} als Polarkoordinate.

Erste Frage: Ist mein Rechenweg korrekt und kann ich das allgemein so machen? Und meine zweite Frage ist, wie bekomme ich die 3. Wurzel aus z? Da fehlt es mir an Verständnis.

Gruß

Answer 1

Ja das ist richtig

4·e^{pi/2·i}/(3·e^{pi/6·i}) = 4/3·e^{pi·i/3}

³√z = z^{1/3}

(3·e^{pi/6·i})^{1/3} = ³√3·e^{pi/18·i}

Comments

Danke erstmal! Kannst du mir noch sagen, wie ich die restlichen 3. Wurzeln bekomme?

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Du meinst die ³√3 = 1.442249570

Mir fällt da nur der Taschenrechner ein. Also im Kopf mache ich das bestimmt nicht.

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Eventuell hatte ich mich falsch ausgedrückt.

Ich meinte bspw. die hier:

pi/18 + 2pi/3 = pi+12pi/18 = 13pi/18

-> ³√3e^{13pi/18}

pi/18 + 2*2pi/3 = pi+24pi/18 = 25pi/18

-> ³√3e^{25pi/18}

Ist das ebenfalls so korrekt?

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Hast du da nochmals die vollständige Aufgabenstellung?

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"Berechnen Sie den Quotienten w/z sowie die 3. Wurzeln aus z."

Die Ergebnisse von oben stimmen auch tatsächlich mit der Lösung überein, nur bin ich mir bei meinem Rechenweg nicht sicher.

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Genau. Die 3. Wurzel aus z = 3e^{pi/6*i}.

Woraus wolltest du denn jetzt die 3. Wurzel ziehen bitte?

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Ich weiß es nicht. Dort steht WurzelN. Plural (..die dritten Wurzeln?). Und als Lösung sind folgende angegeben:

3√3e^pi*i/18

3√3e^13pi*i/18

3√3e^25pi*i/18

Diese hatte ich ja auch herausbekommen.

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Ich hatte das doch oben berechnet

(3·e^{pi/6·i})^{1/3} = ³√3·e^{pi/18·i}

Ist das Ergebnis zufällig oben aufgeführt? Wenn ja wo liegt denn genau das Problem?

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Auf 3√3e^{pi*i/18} komme ich auch.. die Frage ist, wie komme ich noch auf 3√3e^{13pi*i/18} und 3√3e^{25pi*i/18}. Ist mein Weg dafür (weiter oben) korrekt oder nicht..?

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Sollst du x = 3√z losen oder x^3 = z berechnen?

Im ersten Fall gibt das nur eine Lösung. Im zweiten Fall gibt das 3 Lösungen.

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Die Aufgabenstellung lautet

"Berechnen Sie den Quotienten w/z sowie die 3. Wurzeln aus z."

und angegeben sind die 3 besagten Lösungen.

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Ok. Das ist unewöhnlich weil eine Funktion wie die Wurzel eigentlich nur eine Lösung hat.

Wenn man die 3. Wurzel zieht dann kann man aber zum Ergebnis immer zum Winkel 1/3*(2*pi) = 2/3*pi hinzu addieren.

Also hast du die Winkel

pi/18

pi/18 + 2/3*pi = 13/18·pi

pi/18 + 2/3*pi + 2/3*pi = 25/18·pi

Das hast du also dann völlig richtig gemacht.

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Super, alles klar. Vielen Dank für deine Mühe und Zeit!