Konstante Funktion f mit einer Konstanten K

Question

Erstmal zur Aufgabe

$$\text{Sei I ein Intervall,}\ n\geq\text{2 eine natürliche Zahl }\text{und K > 0 eine Konstante.}\\\text{Für die Funktion f: I --> R gelte |f(x) -f(y)|}\leq\text{K|x-y|}^{n}.\\\text{Zeigen Sie, dass f konstant ist.}$$

Könnte mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen. Liebe Grüße,

Tza134

Answer 1

Ich unterstelle, dass \(x,y \in I\). Dividiere die Gleichung durch \(|x-y|\). Dann erhält man:

$$\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}  = \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \le K |x-y|^{n-1}$$

nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung ist der Term links identisch zur Steigung der Funktion \(f\) an der Stelle \(z\), wobei \(z\) zwischen \(x\) und \(y\) liegt.

$$\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| = |f'(z)| \quad  z \in [x,y]$$ Also $$|f'(z)| \le K |x-y|^{n-1} \quad z \in [x,y]$$ Da nun \(n-1\ge 1\) und die Differenz \(|x-y|\) beliebig klein werden darf, so kann der rechte Term zu 0 werden. Folglich ist die Ungleichung \(\forall x,y \in I \cap n \ge 2\) nur genau dann immer erfüllt, wenn $$f'(z)= 0 \quad z \in I$$ Die Funktion ist also konstant.

Comments

Bitteschön :-)

---

Ist denn die Funktion \(f\) differenzierbar?