Question

Was ist der größtmögliche Rest, wenn eine zweistellige Zahl durch die Summe ihrer Ziffern geteilt wird?

Original:

What is the largest possible remainder when a two-digit number is divided by the sum of its digits?

Comments

Sobald sich die Quersumme 9 ergibt, ist die ursprüngliche Zahl durch 9 teilbar und der Rest ist 0. Man könnte also gleich Zahlen mit der Quersumme 8 betrachten, der größte Rest ist dann 7.

Answer 1

Den größten Rest kann man nur mit einem großen Teiler \(d\) erreichen. Den größte Teiler (\(d=18\)) erhält man mit 99. Es ist aber

$$99 \equiv 9 \mod 18$$

Die nächsten Kandidaten sind 89 und 98:

$$ 89 \equiv 4 \mod 17 \\ 98 \equiv 13 \mod 17$$

Der nächst kleiner Teiler ist 16:

$$ 88 \equiv 8 \mod 16 \\ 79 \equiv 15 \mod 16 \\ 97 \equiv 1 \mod 16 $$

Damit gewinnt die \(79\), da mit jedem weiteren kleineren Teiler \(d < 16\) der Rest nie die 15 erreichen kann.

Answer 2

99 / 18 = 5 Rest 9

98 / 17 = 5 Rest 13

79 / 16 = 4 Rest 15

15 sollte der größte Rest sein, denn wenn man durch 15 teilt könnte der größte Rest ja nur 14 sein.