Rang (A^2) bestimmen durch die Angabe von Blöcken

Question

Ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe.

Sei n∈N und sei A∈Mat(n×n,C).

Bestimmen Sie Rang(A²)für den Fall, dass 9≤n≤11und Rang(A³) = 3,Rang(A⁴) = 1 und Rang(A⁵) = 0

Ich habe mir dazu schon ein bisschen was überlegt. Also wenn Rang(A⁵)=0  ist, dann hat das Minimalpolynom Grad 5 und somit ist die Länge des größten Kästchens auch 5. Außerdem habe ich die folgende Formel:

(d_a-1-d_a-2)-(d_a-d_a-1) = Anzahl der Blöcke der Größe (a-1)x(a-1).

d ist dabei dimkern(A-λE)ⁿ

Ich weiß weiterhin, dass Kern(A³)=2 , Kern(A⁴)= 3 und Kern(A⁵)=5

Es gilt auch Rang (AB) ≤ Rang (A) oder Rang (AB) ≤ Rang (B).

Somit weiß ich

6≤ Kern(A³) ≤8

8 ≤ Kern(A⁴)≤ 10

Außerdem gibt es laut der obigen Formel einen Block der Größe 5x5 und einen Block der Größe 4x4.

Leider kann ich damit aber die Aufgabe nicht vollständig beantworten. Ich weiß dass als Lösung Rang(A²)=5 herauskommen muss und es wäre super wenn mir jemand helfen könnte.