Grundwissen über reelle Funktionen. Ungleichung 1/2x^{2} - 1/2x - 3<0

Question

1/2x^2 - 1/2x - 3 kleiner 0

1/2x^2 - 1/2x - 3 größer 0

1/2x^2 - 1/2x - 3 größer oder gleich  0

wie soll ich die ungleichungen lösen ohne die lösungsmenge zu verändern, und was habe ich zu beachten beim umgang mit verschiedenen mengenverhältniszeichen also <,>,<=,>=

lösungswege und tipps wären hilfreich´, mfg danke im voraus

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Nachfrage:

Titel: Grundwissen über reelle Funktionen. 1/2x^{2} - 1/2x - 3<0 warum L=]-2;3[ ?

Stichworte: ungleichungen,intervall,offen

warum ist die lösung der ungleichung 1/2x^2 - 1/2x - 3<0       L=]-2;3[ müsste doch heißen L=[-2;3]

Answer 1

die Schritte, um eine quadratische Ungleichung zu lösen, sind folgende:

1. Quadratische Gleichung mittels PQ-Formel oder sonstigen Methoden lösen

2. Mögliche Intervalle aufstellen

3. Schauen, welches Intervall den Anforderungen entspricht.

Tipps

1. Man kann ganz normal addieren/subtrahieren, wie bei einer Normalen Gleichung

2. Man darf auch multiplizieren/dividieren. ABER: Wenn man durch eine negative Zahl multipliziert/dividiert, wird das Ungleichheitszeichen umgedreht

Dein erstes Beispiel:

1/2x^2 - 1/2x - 3 < 0  | *2

Auflösen nach x:

x^2 -x -6 < 0

x1/2 = 1/2 ± √( (1/2)^2 - (-6))

x1/2 = 1/2 ± √(1/4 + 6)

x1/2 = 1/2  ± 5/2

x1 = 3

x2 = -2

Intervalle aufstellen:

I1 = [ -∞-2 ]

I2 = [ -2; 3 ]

I3 = 3;∞]

Intervalle prüfen:

I1: Für x = -3

(-3)^2-(-3) - 6 = 6 > 0

I2: Für x = 0

0^2 -0 - 6 = -6 < 0

I3 Für x = 10

4^2 -4 - 6 = 6 > 0

Schlussfolgerung: 

-2 > x < 3

Hier noch die graphische Überprüfung

~plot~ 1/2x^2 -1/2x - 3 ~plot~

Versuch die anderen nach dem Schema

Gruß

Comments

danke aber wie kommen sie auf x1/2 = 1/2 ± √( (1/2)^{2} - (-6))?mfg antwort wäre nett

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Erstmal kein Problem:

Ich kam darauf mit der PQ-Formel:

Ich habe die Gleichung in die Form \(x^2+px+q = 0\) gebracht.

Allgemein nach 0 aufgelöst sieht das mit der PQ-Formel so aus:

$${x}_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}$$

In dem Fall der Gleichung \(x^2 -x-6=0\) ist \(p=-1\) und \(q=-6\)

Das habe ich einfach nur eingesetzt

Edit Unknown: Wurzel unter Wurzel entfernt

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Hallo smitty,
Nullstellen
x1 = 3
x2 = -2
einfacher gehts weiter mit der Punktprobe
Du nimmst eine Stelle zwischen x1 und x2
z.B. x = 0 und setzt diese in die
Ausgangsgleichung ein.
f ( 0 ) = 1/2 * 0^2 + 1/2 * 0 - 3 = -3
Damit ist schon bewiesen das die Parabel-
Funktion zwischen den Nullstellen
-2 < x < 3 negativ ist und somit in den
Bereichen x < -2 und x > 3 positiv ist.

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und wie stellt man so ein intervall überhaupt auf zum beispiel das mit -oo

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Danke für deinen Kommentar,

du hast natürlich Recht, dass es reicht Intervall 2 ( in meinem Fall ) nur einzusetzen.

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Deine PQ-Formel ist falsch.

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Hast Recht, ich habe mich im LaTex Code vertippt. Die  Wurzel unter dem Quadrat muss weg

Vielleicht kann das ja jemand editieren.

Edit Unknown: Done

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will mir keiner antworten

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Das ist schwer - für mich - zu beantworten, zumindest "per Post" und deswegen überlege ich etwas länger über die Formulierung

Das Intervall stellt man so auf, dass man einmal den Bereich zwischen den Nullstellen betrachtet und einmal von der "linken" Nullstelle bis ins negativ unendliche und dann noch einmal von der "rechten" Nullstelle bis ins positive Unendliche. So ergeben sich die 3 Intervalle

Answer 2

warum ist die lösung der ungleichung 1/2x^{2} - 1/2x - 3<0      L=]-2;3[ müsste doch heißen L=[-2;3]

Nein, die Intervallränder gehören offensichtlich nicht dazu!

Comments

aber warum? die funktionswerte sind doch von -2 bis 3 negativ

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Aber nicht für -2 oder 3.

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also alle werte außer -2 oder 3 sind negativ darum sind klammern so ]   [ ?

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aber was ich nicht verstehe ist warum man das mit -2;3 in die lösungsmenge schreibt

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ahhhhh, ich habs verstanden irgend welche mathemenschen sagen halboffenes intervall gleich alles außer das -2;3

Answer 3

warum ist die lösung der ungleichung 1/2x^{2} - 1/2x - 3<0      L=]-2;3[ müsste doch heißen L=[-2;3]

Nein. L=[-2;3] ist falsch.

Mache die Probe! Setze die Randpunkte des Intervalls ein.

x=-2

1/2 *(-2)^2 - 1/2 * (-2) - 3 = = 1/2 * 4 + 1 - 3 = 0 und nicht weniger als 0.

Analog x=3

1/2 * 3^2 - 1/2 * 3 - 3 = 4.5 - 1.5 - 3 = 0 und nicht weniger als 0.

Comments

ja und was ist mit 2 einsetzen?

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Das darfst du ja.

L=]-2;3[  ist ein offenes Intervall. Auf dem Zahlenstahl (number line) sieht die Lösungsmenge folgendermassen aus. ° am Rand zeigt dir, dass nur die Ränder nicht zum Intervall gehören.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+*+x%5E(2)+-+1%2F2+*+x+-+3+%3C+0