Hallo du kannst deine neue Differenzenfunktion d(x) vereinfachen, unzwar so:
$$ \begin{aligned} h(x)&=f(x)\\ \frac{1}{x}-3&=\sqrt{x} &\quad &|\cdot x\\ 1-3x&=x\cdot\sqrt{x}&\quad &|^2\\1-6x+9x^2&=x^3 &\quad &|-x^3\\d(x)&:=-x^3+9x^2-6x+1 \end{aligned} $$
$$ d'(x)=-3x^2-18x-6 $$
Und jetzt das NewtonVerfahren:
$$ x_{n+1}=x_n-\frac{d(x_n)}{d'(x_n)}=x_n-\frac{-x_n^3+9x_n^2-6x_n+1}{-3x_n^2-18x_n-6} $$
Startwert zum Beispiel x1=0.1 Dann hat man:
$$ x_2=0.2156028368794326\\ x_3=0.26639619723683866\\ x_4=0.28150436829942727\\ x_5=0.2831004336642306\\ x_6=0.28311858051240496\\ x_7=0.28311858285794855\\ x_8=0.28311858285794855\\ x_9=0.28311858285794855\\ x_{10}=0.28311858285794855\\ x_{11}=0.28311858285794855 $$
Pythoncode
from math import*
durchläufe=int(input('n = '))
a=0.1
n=1
while n<=durchläufe :
a = a-((-a**3+9*a**2-6*a+1)/(-3*a**2+18*a-6))
n = n+1
print(a)
