Mathematischer Beweis von: Falls b>0 und d>0, so gilt a/b < c/d --> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Question

ich soll folgendes beweisen:

Falls b>0 und d>0, so gilt a/b < c/d --> a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Leide finde ich überhaupt keinen Ansatz, kann mir da jemand helfen?

Gruß

Comments

Das würde ja heissen, dass die falsche Addition von 2 Brüchen mit positiven Nenern immer ein Resultat zwischen den gegeben Brüchen ergibt.

Bsp.

1/2 < 3/4

4/6 = 2/3 liegt dazwischen.

Begründung

1/2 = 6/12 < 8/12 < 9/12

Vielleicht hilft es etwas, wenn du 

a/b, c/d und (a+c)/(b+d) auf einen gemeinsamen Nenner bd(b+d) bringst.

Answer 1

Hi,

bringe alles auf den Hauptnenner (b*d*(b+d)).

Das ist kein Problem, da b und d >0 sind und man deshalb kein Problem mit den Rechenzeichen hat.


Wir haben also:

ad(b+d) < (a+c)bd < cb(b+d)

Bedenkt man noch a/b < c/d  --> ad < cb (wieder kein Problem, da b,c>0)

Sieht man sofort, dass ad(b+d) < cb(b+d) sein muss.


Verbleibt noch den mittleren Ausdruch zu zeigen:

ad(b+d) < (a+c)bd

adb + add < abd + cbd

add < cbd          |:d

ad < cb


Das passt also auch. Entsprechendes gilt auf für (a+c)bd < cb(b+d)


Grüße