Nein deine Frage ist etwas verwirrend formuliert. Die Definition des Kurvenintegrals
$_K < v [ r ( t ) ] | ( dr/dt > dt ( 1 )
Dabei ist v = v ( r ) eine Vektor wertige Funktion
v : ===> |R ³ ===> |R ( 2a )
r ===> v ( r ) ( 2b )
Integriert wird über Skalarprodukte; da hastr du recht . Die Kurve wird beschrieben durch ihren Parameter t ; als Abbildung von |R nach |R ³ und besitzt ein ===> Tangentenfeld, auch tangentialfeld genannt .
Mit einem " Gradienten " hat das ganze Spielchen erst mal gar nichts zu tun; dann und nur dann, wenn rot ( v ) identisch verschwindet, folgt aus dem Integralsatz von ===> Stokes, dass das Rundlaufintegral längs jeder geschlossenen Kurve verschwindet ===> v ist Gradient eines Stammpotenzials U U .
Zwei prominente Gegenbeispiele;
rot ( B ) = µ0 j ( 3a )
eine der inhomogenen ===> Maxwellgleichungen . Wenn du ein Magnetfeld aufintegrierst, bekommst du stets die Summe der eingeschlossenen Ströme; aber auch das Induktionsgesetz
rot ( E ) + ( dB/dt ) = 0 ( 3b )
so bald sich das Magnetfeld zeitlich ändert, also elektrodynamische E_Feldlinien induziert werden, sind diese geschlossen. Ein Elektron, das eine geschlossene Leiterschleife oder den Kreisbeschleuniger eines Betatrons durchflitzt, gewinnt also andauernd Energie aus dem Feld .