Obere Schranke ermitteln bei vollständiger Induktion bestimmen: a_(n+1) := √(5+a_n)

Question

Ich versuche die Lösungen für die folgende Aufgabe zu nachvollziehen aber komme nicht darauf wie man auf die Folgende Obere Grenze kommt.

Die Folge ⟨a_n⟩ mit n∈N sei durch a₁ := 5 und a_n+1 := √(5+a_n)  (alles unter der Wurzel ) für n≥1definiert.

i) Zeigen Sie, dass an monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.
ii) Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge.

Meine eigentliche Frage ist, dass die Folge die Obere Schranke 3 hat aber wie kommt man darauf:

Also  Für alle n∈ℕ gilt 0<a_n<3

Den Rest der Aufgabe könnte ich eigenständig mit vollständiger Induktion lösen (zumindest versuchen)

aber nur Schritt wie man darauf kommt dass die obere Schranke 3 ist, ist mir ein Mysterium

und

Comments

√5+a_n  (alles unter unter Wurzel )

Dafür schreibt man üblicherweise √(5+a_n). Das ist wesentlich kürzer.

Zeigen Sie, dass an monoton wachsend und nach oben beschränkt ist.

Die Folge ist nicht monoton wachsend.

Bestimmen Sie den Grenzwert dieser Folge.

Der Grenzwert ist nicht 3.

Answer 1

wenn die obere Schranke \(s=3\) sein soll, dann muss zusammen mit der Bedingung 'monoton wachsend' \(a_n \le s \space \forall \, n\) sein. Mit \(a_1=5\) ist das nicht erfüllt!

Und wenn es \(s=3\) sein soll, so heißt die Rekursion wahrscheinlich \(a_{n+1} = \sqrt{6+a_n}\).

Du erhältst die obere Schranke \(s\) (falls sie existiert) indem Du für \(a_n\) und \(a_{n+1}\) \(s\) einsetzt. Wenn \(s\) existiert, so muss nach Eingabe in die Rekursion wieder \(s\) heraus kommen, sonst wäre es ja keine obere Schranke! Also:

$$s = \sqrt{6 + s} \quad \Rightarrow s^2 = 6 + s \quad \Rightarrow s^2 - s - 6 = 0$$ $$\Rightarrow s_1 = 3; \quad s_2 = -2$$ Gruß Werner

Comments

Salut Werner,

ich hatte dir gestern folgende Anfrage geschickt:

https://www.nanolounge.de/15555/vorstellung-uber-freiheitsgrade

Merkwürdigerweise wurden anschließend von geheimer Hand die meisten Kommentare (auch deine) gelöscht, wodurch du mit Sicherheit meine Bitte nicht erhalten haben kannst.

Mir ist die Frage allerdings wichtig, deshalb mein Nachhaken an dieser Stelle.

Merci bien

Così_fan_tutte

---

Hallo Così_fan_tutte,

Ja - neben der sehr guten Infrastruktur hier, ist es ein Manko dieses Forums, dass man einem User keine persönliche Nachricht schicken kann. Das führt dann zu diesen und anderen Effekten ...

Trotzdem habe ich Deine Bitte noch erhalten. Zur Mondbahn: Ideen hätte ich schon; ist aber alles sehr arbeitsintensiv. Es gibt sogar einen eigenen Wiki-Artikel dazu - da sage ich nur: Puh! das ist ganz schön heftig.

Ich melde mich noch bis Ende der Woche bei Dir.

Gruß Werner

---

Salut Werner,

Aber es wäre doch sehr viel Arbeit und ich habe gar keine Zeit und Geduld dafür.

Total schade, aber selbstverständlich völlig in Ordnung.

Danke für deine beiden Kommentare, hier und dort.


Così_fan_tutte

Answer 2

du kannst ja zunächst eine Fixpunktgleichung aufstellen und diese lösen. So bekommst du nämlich den Grenzwert deiner rekursiven Folge heraus. Man kann dann diesen Wert immernoch mit einem höheren Wert nachoben abschätzen.

$$ g=\sqrt{5+g} \Rightarrow g=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{21}}{2}\approx  2,7913 < 3$$