Question

Begründe diese: bei der quadratische Gleichung x^2+px+q=0  hat für  q<0 stets  zwei Lösungen: eine positive und eine Negative?

Comments

Betrachte die Diskriminante: Sie ist immer positiv.

Answer 1

Hallo ismail,

\(\text{pq-Formel: }x^2+px+q=0\text{ }\text{ }\text{mit  p beliebig  ;  q <0}\)
\( x_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}\)

für q<0

ist der Ausdruck unter der Wurzel immer positiv.

Außerdem ist der Wurzelterm > p/2.

Damit ergeben sich immer eine positive und eine negative Lösung.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Schaue dir dazu die PQ-Formel an:$${x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}$$ Wie du siehst steht unter der Wurzel \(-q\). Also wird jeder Wert \(q<0\) unter der Wurzel zu \(+\). Außerdem gilt das auch für jedes  reelle \(p\), weil das \(p\) unter der Wurzel ins Quadrat genommen wird.

Du hast wenn \(q<0\) immer einen positiven Betrag unter der Wurzel, weshalb du immer eine Lösung erhältst.

Answer 3

Da q<0 gelten soll, setzen wir r=-q mit r>0, Dann gilt nach der p-q-Formel: x_1/2= - p/2±√(p²/4+r) und √(p²/4+r)>p/2. Dann ist - p/2+√(p²/4+r)>0 und - p/2-√(p²/4+r)<0.

Answer 4

Hallo ismail,

die Gleichung \(x^2+px+q=0\) liefert die Nullstellen der Funktion \(f(x)=x^2+px+q\). Der Graph der Funktion \(f(x)\) ist immer eine nach oben geöffnete Normalparabel, die durch die Werte \(p\) und \(q\) lediglich verschoben ist.

~plot~ x^2+2x-1;{0|-1} ~plot~

Wobei mit \(f(0)=q\) der Wert von \(q\) den Schnittpunkt des Graphen mit der Y-Achse fest legt. Ist dieser \(\lt 0\), so muss der linke Ast der Parabel die X-Achse zwangsläufig im negativen und der rechte Ast die X-Achse im positiven Bereich schneiden. Somit gibt es bei \(q<0\) immer eine negative und eine positive Lösung.