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Begründe diese: bei der quadratische Gleichung x2+px+q=0  hat für  q<0 stets  zwei Lösungen: eine positive und eine Negative?

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Betrachte die Diskriminante: Sie ist immer positiv.

4 Antworten

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Hallo ismail,

pq-Formel :  x2+px+q=0  mit p beliebig ; q <0\text{pq-Formel: }x^2+px+q=0\text{ }\text{ }\text{mit p beliebig ; q <0}
x1,2=p2±(p2)2q x_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}

für q<0

ist der Ausdruck unter der Wurzel immer positiv.

Außerdem ist der Wurzelterm > p/2.

Damit ergeben sich immer eine positive und eine negative Lösung.

Gruß Wolfgang

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Schaue dir dazu die PQ-Formel an:x1,2=(p2)±(p2)2q{x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} Wie du siehst steht unter der Wurzel q-q. Also wird jeder Wert q<0q<0 unter der Wurzel zu ++. Außerdem gilt das auch für jedes  reelle pp, weil das pp unter der Wurzel ins Quadrat genommen wird.

Du hast wenn q<0q<0 immer einen positiven Betrag unter der Wurzel, weshalb du immer eine Lösung erhältst.

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Da q<0 gelten soll, setzen wir r=-q mit r>0, Dann gilt nach der p-q-Formel: x1/2= - p/2±√(p2/4+r) und √(p2/4+r)>p/2. Dann ist - p/2+√(p2/4+r)>0 und - p/2-√(p2/4+r)<0.

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Hallo ismail,

die Gleichung x2+px+q=0x^2+px+q=0 liefert die Nullstellen der Funktion f(x)=x2+px+qf(x)=x^2+px+q. Der Graph der Funktion f(x)f(x) ist immer eine nach oben geöffnete Normalparabel, die durch die Werte pp und qq lediglich verschoben ist.

Plotlux öffnen

f1(x) = x2+2x-1P(0|-1)


Wobei mit f(0)=qf(0)=q der Wert von qq den Schnittpunkt des Graphen mit der Y-Achse fest legt. Ist dieser <0\lt 0, so muss der linke Ast der Parabel die X-Achse zwangsläufig im negativen und der rechte Ast die X-Achse im positiven Bereich schneiden. Somit gibt es bei q<0q<0 immer eine negative und eine positive Lösung.

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