Quadratische Ungleichungen. x^2-5x+6 ≥ 0

Question

https://www.youtube.com/watch?v=mPbJjBoM46E

Der Link ist da , wollte fragen wie diese person in dem video auf diese 6 fälle der Ungleichung x^2-5x+6 kommt, antwort wäre nett, mfg , danke im voraus

Answer 1

Wie kann am einfachsten gerechnet werden ?

x^2 -5x + 6 ≥ 0

Wir schauen uns zunächst die Teilfunktion
x^2 -5x + 6 = 0  an.
Lösbar mit der pq-Formel oder der quadratischen
Ergänzung.
x = 2
und
x = 3

Dies sind die Nullstellen auf der x-Achse.
Parabeln sind entweder
- nach oben offen ( + x^2 )
oder
- nach unten offen ( - x^2 )

Deine Parabel ist nach oben offen ( + x^2 )
Der Scheitelpunkt ist unterhalb der
x-Achse.
Erweitert : zwischen x = 2 und x = 3 sind
alle Funktionswerte unterhalb der x-Achse.
Demzufolge sind im Bereich
( x < 2 ) und ( x > 3 ) alle Funktionswerte
oberhalb der x-Achse.
Dies ist auch die Lösung der Frage.

Es gibt noch mehrere Möglichkeiten die Frage
zu berechnen.

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

Es genügt, wenn du die Skizze anschaust.

Da siehst du 6 Fälle.

1a) Parabel nach oben geöffnet und kein Schnittpunkt mit der x-Achse

1b) Parabel nach oben geöffnet und ein Schnittpunkt mit der x-Achse

1c) Parabel nach oben geöffnet und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

2a) Parabel nach unten geöffnet und kein Schnittpunkt mit der x-Achse

2b) Parabel nach unten geöffnet und ein Schnittpunkt mit der x-Achse

2c) Parabel nach oben geöffnet und zwei Schnittpunkte mit der x-Achse

ax^2 + bx + c ≥ 0  , a ≠ 0

Lösungsmenge: Diejenigen Intervalle in denen die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft.

Es entstehen dann genau solche "Felder" (Intervalle) wie hier. https://www.mathelounge.de/558743/kann-mir-bitte-jemand-sagen-wie-ich-das-feldern-verstehen-habe

Comments

aber warum ist die Lösungsmenge oben unendlich und unten leer? mfg

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Lösungsmenge: Diejenigen Intervalle in denen die Kurve oberhalb der x-Achse verläuft.

Wenn die Kurve ganz oberhalb der x-Achse verläuft ist L = ℝ.

Wenn die Kurve ganz unterhalb der x-Achse verlaufen würde ist L = {}.

Answer 3

Der Link ist da , wollte fragen wie diese person in dem video auf diese 6 fälle der Ungleichung x^2 - 5x + 6 ≥ 0 kommt, antwort wäre nett, mfg , danke im voraus

Die Funktion y = x^2 - 5x + 6 gibt natürlich nur einen Fall aller sechs angesprochenen Fälle.

Die sechs Fälle beziehen sich auf den allgemeinen Fall y = ax^2 + bx + c

Das y = x^2 - 5x + 6 eine nach oben geöffnete Parabel ist weißt du inzwischen. Ist eigentlich nur die Frage wieviele Nullstellen es gibt.

Keine: Die Funktion liegt vollständig im positiven y-Bereich.

Genau eine: Die Funktion berührt die x-Achse von oben.

Zwei: Die Parabel liegt zwischen den Nullstellen unter der x-Achse und rechts und links der Nullstellen über der x-Achse.

Wie löst man jetzt die Ungleichung z.B. mit quadratischer Ergänzung:

x^2 - 5x + 6 ≥ 0
x^2 - 5x + 6.25 ≥ 0.25
(x - 2.5)^2 ≥ 0.25
x - 2.5 ≤ -0.5 oder x - 2.5 ≥ 0.5
x ≤ 2 oder x ≥ 3

Alternativ geht auch die Nullstellenbestimmung über pq-Formel, Mitternachtsformel, Satz von Vieta etc. Nur um mal die wichtigsten Lösungsverfahren zu nennen, die du kennen solltest.