Beweise mit Induktion die Ungleichung: 2^x > x^k

Question

$$2^x > x^k \quad k \in \mathbb{R}$$

Zu zeigen für alle \(x \in \{\mathbb{N} \, | x \gt x_0, 2^{x_0} > x_0^k \}\).

Comments

Wie ist k definiert?

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Gegenbeispiel:   x=2    k=5

                  2^2 > 2^5    ist falsch!

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Wo ist das ein Gegenbsp? Laut dem Definitionsbereich ist x = 2 und k = 5 nicht erlaubt ;).

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Die Aufgabe wurde ediert. Anfangs stand da etwas anderes. Daher meine Nachfrage. :)

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Hallo

Gast2016  schreibt zwar die Aufgabe sei editiert, ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k. Bitte die exakte Aufgabe.

Gruß lul

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Gast2016  schreibt zwar die Aufgabe sei editiert, ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k. Bitte die exakte Aufgabe.

Ich lese jetzt dort:

k ∈ R
x ∈ {ℕ | x / log_2(x) > k}

Ich weiß aber nicht wie lange das dort schon steht.

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mathelounge, Lu und ich haben die Aufgabe editiert. Das müssten Mathecoach und lul aber sehen (Moderator!); inklusive der Information wann es editert wurde.

Ich war der Meinung, dass ich einen Definitionsbereich hinzugefügt hätte, da die Aufgabe - wie mathef bemerkt hatte - ansonsten keinen Sinn macht.

ich sehe aber keinen Def. Bereich für x und k

Wie sähe denn sowas rein formal aus?

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Ich sehe Folgendes:

Der Fragesteller wird sich nochmals melden, falls er sich noch für die Aufgabe interessiert.

Answer 1

Orientiere dich an diesem Beispiel https://www.mathelounge.de/556017/vollstandige-induktion-uber-2-n-n-2-fur-n-4

Verallgemeinere dabei von k=2 auf beliebige positive k

EDIT(Lu): Vorschlag in Antwort umgewandelt. 

Comments

Hallo

 ich sehe in x ∈ {ℕ | x / log_2(x) > k}

eigentlich nichts anderes als die zu zeigende Ungleichung!

für x>1 folgt x>k*log_2(x)=lo_2(x^k)-> 2^x>x^k, was soll also noch gezeigt werden?

Gruß lul

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Die Aufgabe scheint in der Form, in der sie gerade dasteht, reichlich daneben. Um sich das klarzumachen, muss man nur mal versuchen, einen Induktionsanfang anzugeben.

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Hallo

warum reden wir weiter, wenn sich der Frager nicht mehr interessiert?

lul

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Die Aufgabe scheint in der Form, in der sie gerade dasteht, reichlich daneben.

Ok ok -, das habe ich verbockt. ich hatte versucht eine untere Grenze für das \(x\) zu finden und den vermeintlichen Definitionsbereich hinzu editiert.

warum reden wir weiter, wenn sich der Frager nicht mehr interessiert?

Na ja - mich würde es interessieren, wie man das formal hinschreibt. Legt man ein beliebiges \(k\) fest, zeigt, dass die Ungleichung ab einem bestimmten \(x_0\) stimmt. Und macht dann den Übergang von \(k\) nach \(k+1\).

Oder kann man in Abhängigkeit von einem allgemeinen \(k\) ein \(x\) bestimmen, um den Übergang nach \(x+1\) zu machen.

So ganz konkret kann ich das jetzt nicht hinschreiben.

Die Originalfrage lautete:

Beweise größer als mit Induktion
2^x>x^k
Zu zeigen für alle x aus N.
Gruß