Beweise durch vollständige Induktion, die Ungleichung n^2 > n+1. Stimmt der Beweis?

Question

Beweise für alle \( n∈ℕ,n≥2 \)

Induktionsanfang: sei n₀=2

$$ n^2>n+1 $$
$$ n_0=2 $$
$$ 2^2>2+1 $$
$$ 4>3 $$

Induktionsannahme:

$$ ∃n∈ℕ,n≥2:n^2>n+1 $$
$$ (n+1)^2>(n+1)+1 $$
$$ (n^2+2n+1)>n+2 $$

Ich komme net mehr weiter :(

Answer 1

Das braucht hier keine vollständige Induktion:

$$n^2=n*n\geq 2n =n+n> n+1$$ mit $$n \geq 2$$ in der ersten Ungleichung und $$n>1$$ in der zweiten.

Comments

Hi,

ich möchte es aber mittels vollständige Induktion, weil ich dieses Prinzip verstehen möchte :)

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Dann würd ich aber Aufgaben nehmen wo Induktion sinnvoll ist und nicht künstlich als Beweis.

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Ah ok. Hättest du mal eine? Aber bitte eine einfache!! :)

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Mein erster google-Treffer:

http://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Answer 2

Der Beweis mit vollständiger Induktion ist aber auf jeden Fall möglich:

Induktionsanfang: 4>3. Die Ungleich ist also für n=2 erfüllt.

Induktionsschrit:

(n+1)^2=n^2+2n+1>n+1+2n+1=3n+2>n+2

Wobei bei der Abschätzung n^2+2n+1>n+1+2n+1 die Induktionsvoraussetzung benutzt wurde.