Wie berechnet man das Integral von f(x) = (x+2)^2 * e^{-x} ?

Question

$$ \int { { (x+1) }^{ 2 }{ e }^{ -x }dx } $$

Wie geht man bei der Berechnung dieses Integrals vor?

Koeffizientenvergleich, partielle Integration, e-Funktion

Comments

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Answer 1

f(x) = e^{-x} * (x^2 + 2x + 1)

F(x) = e^{-x} * (ax^2 + bx + c)

Leite diese allgemeine Stammfunktion ab und mache einen Koeffizientenvergleich.

Answer 2

Du kannst das Integral partiell integrieren.

allgemein gilt:

∫ u' vdx= uv -∫ u v'dx

u= -e^{-x}

u '=e^{-x}

v=(x+1)^2

v' =2(x+1)

------>

= -e^{-x} * (x+1)^2 - ∫ - e^{-x} *2(x+1) dx

= -e^{-x} * (x+1)^2 + ∫  e^{-x} *2(x+1) dx

dann nochmal partiell integrieren

Lösung:

= -e^{-x} (x^2 + 4 x + 5) + C