Reelle Partialbruchzerlegung von (x^3 - 3*x^2 - 9*x - 3)/(x*(x+3)*(x^2 + 1))

Question

Wie mache ich hier eine reelle PBZ, obwohl komplexe Nullstellen vorhanden sind?

Answer 1

Möglicher Ansatz:
$$\dots=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+3}+\dfrac{Cx+D}{x^2+1}$$

Comments

Ich habe diesen Ansatz auch probiert und geht auch auf aber es wird eine sehr lange Rechnung mit einer 4x4 Matrix etc.

Geht es nicht eibfacher

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Das geht zum Beispiel dann einfacher, wenn du vor dem Koeffizientenvergleich mal ein paar Werte ensetzt und schaust, ob sich die Rechnung dadurch abkürzen lässt.

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Man kann auch abseits vom klassischen Weg den Zähler so in Summanden zerlegen, dass der Quotient auseinandergezogen und das Ergebnis gekürzt werden kann.

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Was ich meinte, ist dies:
$$\dfrac{x^3 - 3\cdot x^2 - 9\cdot x - 3}{x\cdot(x+3)\cdot(x^2 + 1)} = \\[20pt] \dfrac{(x-3)\cdot x\cdot(x+3)-3\cdot(x^2+1)}{x\cdot(x+3)\cdot(x^2 + 1)} = \\[20pt] \dfrac{(x-3)\cdot x\cdot(x+3)}{x\cdot(x+3)\cdot(x^2 + 1)} - \dfrac{3\cdot(x^2+1)}{x\cdot(x+3)\cdot(x^2 + 1)} = \\[20pt] \dfrac{x-3}{x^2 + 1} - \dfrac{3}{x\cdot(x+3)} = \dots$$Das könnte man auch bis zum Schluss so weiter rechnen.