Tschuldige; mit bissele Aufwand lässt sich zeigen, dass der Grenzwert nicht Null ist . Zunächst bedienen wir uns einer Standard_Transformation, der ===> Inversion am Einheitskreis .
z := 1 / n , z ===> 0 ( 1 )
F ( n ) := n ^ n / ( n + 1 ) ^ n = ( 2a )
1 / z ^ ( 1/z )
= F ( z ) = ---------------------------------- = ( 2b )
( 1 + 1/z ) ^ ( 1/z )
= 1 / ( z + 1 ) ^ ( 1/z ) ( 2c )
Jetzt ( 2c ) logaritmieren
G ( z ) := ln ( F ) = - ( 1/z ) ln ( z + 1 ) ( 3a )
Aber ( 3a ) ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion
f ( z ) = - ln ( z + 1 ) ( 3b )
genommen zwoschen z0 = 0 und dert beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend, weil f ( 0 ) = 0 In ( 1 ) betrachten wir aber genau den Grenzwert dieses DQ für z gegen Null; und der ist, wie ihr alle wisst, gleich f ' ( 0 )
f ' ( z ) = - 1 / ( z + 1 ) ( 4a )
f ' ( 0 ) = ( - 1 ) = lim G ( z ) ( 4b )
Wenn aber der Logaritmus in ( 3a ) gegen Minus Eins strebt, so F selber gegen 1 / e . Hinzu kommt noch wegen dem vorzeichenwechsel ( - 1 ) ^ n , dass deine Reihenglieder nicht mal eine konvergente Folge bilden geschweige eine Nullfolge.
Komisches Wort: geschweige. Seine Etymologie bedeutet doch: Wir wollen davon schweigen, sie sei eine Nullfolge; nur die ganz ganz dummen glauben das ....
Der Angelsachse sagt ja " let alone "
" Lass die Nullfolge allein im Regen stehen ... "
Von meinem Kommilitonen wolf Berger stammt ja das reziproke English for Runaways.
" Thank you. "
" Never mind. "
Übersetzt
" Danke "
" Machen Sie sich nichts daraus ... "
Und ===> Hans_Georg Gadamer kennt den Konflikt zwischen Materialismus und Idealismus; die Frage nach Geist und Materie:
" What is mind? "
" No matter. "
" And what is matter? "
" Never mind ... "
